[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-5] Determine a transformada Z inversa dos seguintes sinais:
X(z)=2 z^-1+3 z^-2(1-z^-1)(1-5 z^-1+6 z^-2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
X(z)=2z^-1+3z^-2(1-z^-1)(1-5z^-1+6z^-2)
Esse é um problema de transformada Z inversa que vamos resolver usando frações parciais em termos de z^-1 e depois usar a tabela de pares de transformada Z.

Passo 2

Vamos definir w=z^-1 e fatorar o denominador:
X(z)=2w+3w^2(1-w)(1-5w+6w^2) =2w+3w^2(1-w)(1-2w)(1-3w)

Passo 3

Assumimos a decomposição em frações parciais
2w+3w^2(1-w)(1-2w)(1-3w)=A1-w+B1-2w+C1-3w

Passo 4

Para achar A,B,C avaliamos em cada polo:
  • Em w=1: 2+3=5= A(1-2)(1-3)=2A A=5/2
  • Em w=1/2: 2(1/2)+3(1/4)=7/4= B(1-1/2)(1-3/2)=-B/4 B=-7
  • Em w=1/3: 2/3+3/9=1= C(2/3)(1/3)=2C/9 C=9/2

Passo 5

Substituindo de volta e voltando a z^-1:
X(z)=5/21-z^-1-71-2z^-1+9/21-3z^-1
Usamos o par
Z^-11/(1-a,z^-1)=a^n u[n]
Logo cada termo gera potência causal.

Passo 6

Aplicando a inversa a cada fração, obtemos
E como x[n]=52,1^n u[n];- 7,2^n u[n]+92,3^n u[n] , essa é a expressão final para 1^n=1.

Resposta

x[n]=l(tfrac52-7,2^n+tfrac92,3^nr)u[n].

Exercícios relacionados