(LATHI, Exercício E2.4, p. 159) Determine a resposta ao impulso unitário h(t) dos sistemas LCITs descritos pelas equações:
ddoty(t)+2 doty(t)+y(t)=dotx(t)

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema LTI que satisfaz a equação diferencial
ddot y(t) + 2dot y(t) + y(t) ;=; dot x(t)
O que a gente quer é a resposta ao impulso unitário . Em outras palavras, vamos colocar e achar .
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas lineares invariantes, transformada de Laplace, e como inverter de volta para o domínio do tempo. A gente vai usar a transformada de Laplace para resolver a ODE e depois voltar ao tempo.

Passo 2

A regra básica: se ddot y(t)+2dot y(t)+y(t)=de, então . Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação
Lembrando que
  • ,
  • ,
  • e .
Como o sistema é causal e parte em repouso, e . Logo a laplace fica simples.

Passo 3

Aplicando tudo:
s^2Y(s) + 2l(sY(s)r) + Y(s) ;=; s
Colocando Y(s),l(s^2 + 2s +1r) ;=; s Longrightarrow Y(s) = ss^2 +2s +1 em evidência:
H(s)=Y(s)=s(s+1)^2
Mas . Então

Passo 4

Agora precisamos inverter s(s+1)^2 =(s+1)-1(s+1)^2 =s+1(s+1)^2-1(s+1)^2 =1s+1-1(s+1)^2 . Vamos escrever o numerador como :

Passo 5

A gente sabe pelas tabelas de Laplace que
h(t) = e^-tu(t) ;-; t,e^-tu(t)
e

Então

Resposta

boxedh(t)=l[e^-t-t,e^-tr],u(t)

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