(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por
. É possível que a equação característica desse sistema seja:
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema linear com coeficientes constantes e que a sua resposta de entrada nula (ou seja, a resposta do sistema quando a entrada é zero, mas com condições iniciais possivelmente não nulas) é
A pergunta é: “Será que a equação característica desse sistema poderia ser simplesmente
Vamos usar conteúdo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, entender o que é resposta de entrada nula, e ver como ela se relaciona com a equação característica.
Passo 2
Primeiro, o que é resposta de entrada nula?
- Numa EDO linear com coeficientes constantes, a solução geral é soma de duas partes:
- a resposta de entrada nula
, que depende só das condições iniciais e dos polos do sistema; - a resposta forçada, que vem da entrada propriamente dita.
- a resposta de entrada nula
- Essa parte
sempre se escreve como combinação de exponenciais da forma , onde cada é raiz da equação característica. Se alguma raiz for múltipla ou complexa, aparecem fatores extras (tipo ou termos com seno/cosseno). Também, se for raiz, surge termo constante.
Passo 3
A equação característica vem da EDO homogênea:
Cada raiz
dessa polinomial gera um termo
em
. Se
for raiz,
, ou seja, aparece termo constante.
Passo 4
No nosso caso,
Isso indica que:
- Há um polo
(que gera ), - E há também um polo
(que gera o termo constante , multiplicado pela constante 3).
Ou seja, as raízes da característica devem ser
. Logo o polinômio característico tem que ser (até fator escalar):
Passo 5
Se a equação característica fosse só
ela só teria a raiz
. Isso produziria apenas termos da forma
na resposta de entrada nula, e não permitiria um termo constante. Logo, não dá para explicar o
em
.
Resposta
Não, não é possível. A equação característica precisa ser
, pois só assim ela gera as duas raízes
e
, correspondendo aos termos
e
da resposta de entrada nula.