(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por yz i(t)=2 e^-t+3. É possível que a equação característica desse sistema seja:
(lambda+1)=0? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema linear com coeficientes constantes e que a sua resposta de entrada nula (ou seja, a resposta do sistema quando a entrada é zero, mas com condições iniciais possivelmente não nulas) é
yzi(t) ;=; 2e^-t + 3
A pergunta é: “Será que a equação característica desse sistema poderia ser simplesmente
(lambda + 1) = 0,?
Vamos usar conteúdo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, entender o que é resposta de entrada nula, e ver como ela se relaciona com a equação característica.

Passo 2

Primeiro, o que é resposta de entrada nula?
  • Numa EDO linear com coeficientes constantes, a solução geral é soma de duas partes:
    1. a resposta de entrada nula , que depende só das condições iniciais e dos polos do sistema;
    2. a resposta forçada, que vem da entrada propriamente dita.
  • Essa parte sempre se escreve como combinação de exponenciais da forma , onde cada é raiz da equação característica. Se alguma raiz for múltipla ou complexa, aparecem fatores extras (tipo ou termos com seno/cosseno). Também, se for raiz, surge termo constante.

Passo 3

A equação característica vem da EDO homogênea:
an d^n ydt^n + cdots + a1 dydt + a0 y = 0 longrightarrow an lambda^n + cdots + a1 lambda + a0 = 0
Cada raiz dessa polinomial gera um termo em . Se for raiz, , ou seja, aparece termo constante.

Passo 4

No nosso caso,
yzi(t) = 2e^-t + 3
Isso indica que:
  • Há um polo (lambda + 1),lambda = 0 (que gera ),
  • E há também um polo (que gera o termo constante , multiplicado pela constante 3).
Ou seja, as raízes da característica devem ser . Logo o polinômio característico tem que ser (até fator escalar):

Passo 5

Se a equação característica fosse
(lambda + 1)=0,
ela só teria a raiz . Isso produziria apenas termos da forma na resposta de entrada nula, e não permitiria um termo constante. Logo, não dá para explicar o em .

Resposta

Não, não é possível. A equação característica precisa ser , pois só assim ela gera as duas raízes e , correspondendo aos termos e da resposta de entrada nula.

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