(LATHI, Problema 2.4-12, p. 216) A resposta ao impulso de um filtro passa-tudo de 1^a ordem é h(t)=-de.
Determine a resposta de estado nulo deste filtro para a entrada x(t)=e^t u(-t). (Atenção: o enunciado está incorreto no livro!)

Passo 1

Então, o enunciado diz que a resposta ao impulso do filtro passa-tudo de primeira ordem é
h(t) = -de
e a entrada é
x(t) = e^t,u(-t)
O que queremos é a resposta de estado nulo y(t) = h(t)*x(t) , ou seja, a convolução
Para isso vamos precisar lembrar:
  1. Como montar o integral de convolução para sinais contínuos;
  2. Propriedade da delta de “amostragem”;
  3. Como lidar com as funções (função degrau) para definir limites de integração.

Passo 2

Escrevendo a convolução:
y(t) ;=;integral-infty^infty h(tau),x(t-tau),dtau
Substituindo y(t) =integral-infty^inftyl[-de:
-integralde
Usando o “pulo” da delta:
y(t) = -,x(t) ;+;2,integral0^inftye^-tau,x(t-tau),dtau
Então

Passo 3

Agora, y(t) =-,e^t,u(-t) ;+;2integraltau=max(0,t)^inftye^-tau,e^t-tau,dtau =-e^t,u(-t) +2,e^tintegralmax(0,t)^inftye^-2taudtau .
O termo força .
Como o outro limite do integral é , a região que conta é .
Então

Passo 4

Vamos separar em dois casos:
  1. t 0: então .
  2. t 0: então .
Fica claro que para a saída é zero (filtro causal), e para é .

Resposta

boxedy(t) = e^-t,u(t)

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