(LATHI, Problema 2.4-19, p. 216) Determine e rascunhe c(t)=x(t) * w(t) para:
x(t)=[u(t)-u(t-2)]
w(t)= 0 & , para (-infty2)

Passo 1

O exercício pede pra gente achar a convolução
c(t)=x(t)*w(t)
onde
x(t)=u(t)-u(t-2)
é um pulso de amplitude 1 em w(t)= 0,&t<=0, 1,&02 , e vale
Conteúdo: convolução de sinais em tempo contínuo. Vamos usar a definição de integral de convolução e ver como o “overlap” dos dois sinais vai mudando conforme .

Passo 2

Definição de convolução:
c(t)=integral-infty^+inftyx(tau),w(t-tau),dtau
Como só existe em e só “acende” quando , a região de integração não é toda reta, e sim um pedaço que varia com . Vamos dividir em intervalos de para entender esse overlap.

Passo 3

Os pontos críticos aparecem quando as fronteiras de c(t)=integral0^t 1cdot1,dtau = t (0 e 2) e de c(t)=2-t (0,1,2) se alinham, gerando marcos em c(t)=t-4, :
0, 1, 3 (que é 1+2), 4 (que é 2+2).
Vamos calcular em cada intervalo:
  1. 0 < t≤1:
    em , e (porque ).
  1. 1< t≤3:
    para 1< t≤3, o “segmento +1” de (0→1) e o “segmento −1” (1→2) entram juntos.
    sem fazer conto de padaria repetido, dá
(esse valor cai de 1 em t=1 até –1 em t=3).
  1. 3< t≤4:
    só sobra a parte de se sobrepondo, e o resultado é
que vai de –1 em t=3 subindo até 0 em t=4.
Fora desses intervalos não há overlap, então .

Resposta

c(t)= 0,&t<=0, t,&04
Esboço do gráfico (rascunho):
• De 0 a 1: reta subindo de 0 até 1
• De 1 a 3: reta descendo de 1 até –1
• De 3 a 4: reta subindo de –1 até 0
• Fora de [0,4]: zero.

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