(OPPENHEIM, Problema 2.11, p. 84) Sejam x(t)=u(t-3)-u(t-5) e h(t)=e^-3 t u(t):
Calcule g(t)=[d x(t)d t] * h(t).

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício diz é:
Temos x(t)=u(t−3)−u(t−5) e h(t)=e^{−3t}u(t). A tarefa é achar
g(t)=\bigl[dx(t)/dt\bigr]*h(t), ou seja, primeiro derivar x(t) e depois convoluir com h(t).
Conteúdo envolvido:
  1. Propriedade de que a derivada da função degrau u(t−a) é um impulso δ(t−a).
  2. Propriedade de convolução com impulso: f(t)*δ(t−a)=f(t−a).

Passo 2

Vamos achar dx(t)/dt.
Como x(t)=u(t−3)−u(t−5), e a gente sabe da teoria que
d/dt [u(t−a)] = δ(t−a),
ficamos com
dx(t)dt ;=;de

Passo 3

Agora é convoluir isso com h(t). Por definição:
$$g(t);=;\bigl[\delta(t-3)-\delta(t-5)\bigr]*h(t)
=\int_{-\infty}^{\infty}[\delta(\tau-3)-\delta(\tau-5)],h(t-\tau),d\tau. g(t);=;l[def(t)*\delta(t-a)=f(t-a).$$
Então cada impulsinho vai “capturar” h(t) deslocada:
  • A parte com δ(τ-3) vira h(t-3).
  • A parte com −δ(τ-5) vira −h(t-5).

Passo 4

Só substituir h:
h(t)=e^{-3t}u(t) ⇒
h(t-3)=e^{-3(t-3)},u(t-3),
h(t-5)=e^{-3(t-5)},u(t-5).

Resposta

g(t)=e^-3(t-3),u(t-3);-;e^-3(t-5),u(t-5)

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