(LATHI, Problema 2.4-7, p. 215) A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é h(t)=e^-t u(t). Determine a resposta do sistema (estado nulo) yz s(t) se a sua entrada for:
x(t)=sin (3 t) u(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema LTI causal (estado inicial zero) cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^-t,u(t)
e a entrada é
x(t)=sin(3t),u(t),
O que a gente quer é a resposta de zero‐estado .
Pra isso a gente precisa usar a teoria de sistemas LTI: a resposta de zero‐estado é a convolução de com .

Passo 2

Teoria básica de convolução:
Para um sistema LTI causal,
yzs(t) = (h*x)(t) = integral-infty^infty h(t-tau),x(tau),dtau
Como yzs(t) = integral0^t e^-(t-tau);sin(3tau),dtau e são ambos multiplicados por , isso vira na prática

Passo 3

Vamos escrever essa integral de um jeito mais amigável:
yzs(t) = integral0^t e^-(t-tau)sin(3tau),dtau = e^-tintegral0^t e^tausin(3tau),dtau
Agora o lance é calcular
J(t)=integral0^t e^tausin(3tau),dtau

Passo 4

Para resolver integral e^atausin(btau),dtau = e^ataua^2+b^2l(asin(btau)-bcos(btau)r) usamos integração por partes ou a fórmula padrão
integral e^tausin(3tau),dtau =e^tau1^2+3^2l(1cdotsin(3tau)-3cos(3tau)r) =e^tau10l(sin(3tau)-3cos(3tau)r)
Aqui J(t) =e^t(sin3t-3cos3t)-l(e^0(sin0-3cos0)r)10 =e^t(sin3t-3cos3t)+310 , . Então
Avalia de a :

Passo 5

Volta pra yzs(t) = e^-t,J(t) = e^-t,e^t(sin3t-3cos3t)+310 =sin(3t)-3cos(3t)+3e^-t10 :
E não esquece o , porque o sistema é causal.

Resposta

boxedyzs(t)=110l(sin(3t)-3cos(3t)+3e^-tr),u(t)

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