(OPPENHEIM, Problema 2.11, p. 84) Sejam x(t)=u(t-3)-u(t-5) e h(t)=e^-3 t u(t):
Calcule y(t)=x(t) * h(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A questão dá dois sinais:
  • y(t)=x(t)ast h(t) =integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau , que é um “pulsinho” ligado entre e .
  • , que é uma exponencial decaindo a partir de .
O que precisamos achar é a convolução
Isso faz parte do conteúdo de sinais e sistemas contínuos: aprender como “sobrepor” um sinal no outro usando a integral de convolução. Pra resolver, vamos usar a definição de convolução, ajustar os limites de integração vendo onde cada sinal é não zero, e calcular o integral.

Passo 2

Escrevendo a fórmula geral:
y(t)=integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Perceba que
  • só quando ,
  • só existe (não é zero) se , ou seja .
Então, de cara, o intervalo efetivo de integração vai depender de . A gente divide em três casos de :
  1. ,
  2. ,
  3. .

Passo 3

Caso 1: y(t)=0, t<3 .
  • Para qualquer entre 3 e 5 (onde vive), temos , logo e .
    Portanto não há sobreposição e

Passo 4

Caso 2: y(t) =integral3^t e^-3,(t-tau),dtau .
  • Aqui integral3^t e^-3(t-tau),dtau = e^-3tintegral3^t e^+3tau,dtau varia de 3 até e^-3t,l[tfrac13e^3taur]tau=3^tau=t = e^-3t,13l(e^3t-e^9r) (porque acima de y(t) =13l(1 - e^-3(t-3)r), 3<= t<=5 , já cai pra zero).
    Então
Vamos calcular esse integral passo a passo:
  1. Factor pra fora:
  1. Integral de é . Então
  1. Simplificando e , dá

Passo 5

Caso 3: y(t) =integral3^5 e^-3,(t-tau),dtau = e^-3tintegral3^5 e^3tau,dtau = e^-3t,13l(e^15-e^9r) .
  • Agora o “pulsinho” está totalmente dentro de onde y(t) =13l(e^-3(t-5) - e^-3(t-3)r), t>5 é ativo, então vai de 3 até 5.
Isso fica

Resposta

Juntando tudo em forma de “função de partes”:
y(t)= 0, & t<3,[6pt] dfrac13l(1-e^-3(t-3)r), & 3<= t<=5,[6pt] dfrac13l(e^-3(t-5) - e^-3(t-3)r), & t>5

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