(OPPENHEIM, Problema 2.11, p. 84) Sejam
e
:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A questão dá dois sinais:
-
, que é um “pulsinho” ligado entre e . -
, que é uma exponencial decaindo a partir de .
O que precisamos achar é a convolução
Isso faz parte do conteúdo de sinais e sistemas contínuos: aprender como “sobrepor” um sinal no outro usando a integral de convolução. Pra resolver, vamos usar a definição de convolução, ajustar os limites de integração vendo onde cada sinal é não zero, e calcular o integral.
Passo 2
Escrevendo a fórmula geral:
Perceba que
-
só quando , -
só existe (não é zero) se , ou seja .
Então, de cara, o intervalo efetivo de integração vai depender de
. A gente divide em três casos de
:
-
, -
, -
.
Passo 3
Caso 1:
.
- Para qualquer
entre 3 e 5 (onde vive), temos , logo e .
Portanto não há sobreposição e
Passo 4
Caso 2:
.
- Aqui
varia de 3 até (porque acima de , já cai pra zero).
Então
Vamos calcular esse integral passo a passo:
- Factor
pra fora:
- Integral de
é . Então
- Simplificando
e , dá
Passo 5
Caso 3:
.
- Agora o “pulsinho” está totalmente dentro de onde
é ativo, então vai de 3 até 5.
Isso fica
Resposta
Juntando tudo em forma de “função de partes”: