(LATHI, Problema 2.4-22, p. 217) Dois sistemas LIT, cada um com resposta h(t) ao impulso, são conectados em série. Dada a entrada x(t)=u(t), aplicada na entrada dessa associação, determine a saída y(1). Ou seja, determine a resposta do sistema em série ao degrau unitário no instante t=1.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a gente tem dois sistemas LIT (lineares e invariantes no tempo), cada um com mesma resposta ao impulso , e eles estão em série. A entrada no conjunto é o degrau unitário . O objetivo é encontrar a saída desse conjunto no instante , ou seja, .
Matéria envolvida: sistemas LIT e convolução de sinais.
O que vamos precisar:
  • Saber que, em série, as respostas ao impulso se convoluem.
  • Que saída de um sistema LIT é a convolução da entrada com sua resposta ao impulso.
  • Colocar tudo junto e avaliar em .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a resposta ao impulso equivalente do sistema em série. Se cada estágio tem resposta heq(t) ;=; (h * h)(t) ;=;integral-infty^inftyh(tau),h(t-tau),dtau , então o sistema todo tem
heq(t) =integral0^th(tau),h(t-tau),dtau
Como normalmente para (causalidade), o integral vira

Passo 3

Agora, a saída do sistema em série para qualquer entrada y(t) = x(t) * heq(t) = integral-infty^infty x(tau),heq(t-tau),dtau é
y(t) =integral0^t1;cdot;heq(t-tau),dtau =integral0^theq(t-tau),dtau
Mas y(t) =integral0^theq(lambda),dlambda , o que é zero para e 1 para . Então o integral vira
Fazendo a mudança de variável , a gente tem equivalente

Passo 4

Substituindo y(t) =integral0^tl[integral0^lambdah(mu),h(lambda-mu),dmur]dlambda , chega-se a
y(1) =integral0^1!l[integral0^lambdah(mu),h(lambda-mu),dmur]dlambda
E o exercício pede , então é só colocar :

Resposta

boxedy(1) =integral0^1!integral0^lambdah(mu),h(lambda-mu),dmu,dlambda

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