(LATHI, Problema 2.4-24, p. 218) Dois sistemas (LIT) possuem respostas ao impulso dadas por:
h1(t)=(1-t)[u(t)-u(t-1)]
h2(t)=t[u(t+2)-u(t-2)]
Assuma que os dois sistemas são conectados em paralelo. Trace a resposta hp(t) equivalente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois sistemas LTI em paralelo, com respostas ao impulso
h1(t)=(1-t),[u(t)-u(t-1)],, h2(t)=t,[u(t+2)-u(t-2)],
O conteúdo aqui é “sinais e sistemas”: em paralelo, a resposta ao impulso equivalente é a soma das respostas individuais. Para resolver, você só precisa saber como funciona a função degrau unitário u(t) e como somar pedaços de sinais definidos por intervalos.

Passo 2

Teoria rápida: sistemas LTI em paralelo têm
hp(t)=h1(t)+h2(t),
Então já escrevemos
hp(t)=(1-t),[u(t)-u(t-1)]+t,[u(t+2)-u(t-2)],

Passo 3

Agora a gente simplifica essa soma em intervalos de , usando as definições:
  • se , senão 0.
  • Cada “ ” vira um “janela” que vale 1 dentro do intervalo indicado e 0 fora.
Vamos dividir em 5 regiões:
  1. :
    • , .
    • .
      .
  2. :
    • , .
    • .
      .
  3. :
    • Para : , .
    • Para : , .
      .
  4. :
    • ainda é (já que ).
    • : agora , .
      .
  5. :
    • , .
    • , .
      .

Resposta

Em forma de pedaços, a resposta equivalente é:
hp(t)= 0, & t< -2, t, & -2 <= t<0, 1, & 0 <= t<1, t, & 1 <= t<2, 0, & t>=2

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