(LATHI, Problema 2.7-4, letra c, p. 222/223) Considere um sistema LIT que possui a resposta ao impulso h(t) descrita abaixo. Determine a saída do sistema y(t)=x(t) * h(t) para uma entrada x(t)=[u(t-2)-u(t)]. Trace o gráfico exato de y(t) para (0 <= t <= 10).
h(t)= 0 & , para (t<1) 1 & , para (1 <= t<2) 0 & , para (2 <= t<3) 1 & , para (3 <= t<4) 0 & , para (t >= 4)

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente encontre a saída
y(t)=x(t)*h(t)
onde
x(t)=u(t-2)-u(t)
e o impulso
h(t)= 0,&t<1, 1,&1<= t<2, 0,&2<= t<3, 1,&3<= t<4, 0,&t>=4
Conteúdo: convolução em sistemas LIT. Vamos precisar saber como escrever a integral de convolução
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
e entender os intervalos onde cada sinal está “ligado” (suporte).

Passo 2

Antes de meter a mão na integral, vamos entender o formato de x(t)= 0,&t<0, -1,&0<= t<2, 0,&t>=2 .
  • Para : e .
  • Para : , .
  • Para : , .
    Logo

Passo 3

A fórmula de convolução é
y(t)=integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Como y(t)=-integral0^2h(t-tau),dtau, só existe (=-1) em , a integral vira
pois aí .

Passo 4

O truque agora é ver para quais L1(t)=medidal([0,2]cap(t-2,t-1]r), L2(t)=medidal([0,2]cap(t-4,t-3]r), o termo y(t)=-(L1(t)+L2(t)) vale 1.
Note que quando
  1. ou
  2. .
    Vamos traduzir isso em intervalos de :
  3. .
  4. .
    Então definimos
e

Passo 5

Basta calcular e em cada faixa de :
Para é necessário .
  • Se : .
  • Se : .
  • Se : .
    Em qualquer outro , .
Para é necessário .
  • Se : .
  • Se : .
  • Se : .
    Fora disso, .
Somando e multiplicando por , obtemos:

Passo 6

Expressão final de y(t)= 0,&0<= t<=1, -(t-1),&1< t<2, -1,&2<= t<5, -(6-t),&5<= t<6, 0,&t>=6 para :
Esse é o gráfico:
  • De 0 a 1, vale 0.
  • De 1 a 2, desce linear de 0 a .
  • De 2 a 5, fica na “platô” .
  • De 5 a 6, sobe linear de a 0.
  • Depois de 6, é 0.

Resposta

boxed y(t)= 0,&0<= t<=1, -(t-1),&1< t<2, -1,&2<= t<5, -(6-t),&5<= t<6, 0,&t>=6

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