(LATHI, Problema 2.7-4, letra c, p. 222/223) Considere um sistema LIT que possui a resposta ao impulso descrita abaixo. Determine a saída do sistema para uma entrada . Trace o gráfico exato de para .
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente encontre a saída
Conteúdo: convolução em sistemas LIT. Vamos precisar saber como escrever a integral de convolução
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
e entender os intervalos onde cada sinal está “ligado” (suporte).
Passo 2
Antes de meter a mão na integral, vamos entender o formato de x(t)= 0,&t<0, -1,&0<= t<2, 0,&t>=2 .
Para : e ⇒ .
Para : , ⇒ .
Para : , ⇒ .
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Passo 3
A fórmula de convolução é
y(t)=integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Como y(t)=-integral0^2h(t-tau),dtau, só existe (=-1) em , a integral vira
pois aí .
Passo 4
O truque agora é ver para quais L1(t)=medidal([0,2]cap(t-2,t-1]r), L2(t)=medidal([0,2]cap(t-4,t-3]r), o termo y(t)=-(L1(t)+L2(t)) vale 1.
Note que quando
ou
.
Vamos traduzir isso em intervalos de :
⇔ .
⇔ .
Então definimos
e
Passo 5
Basta calcular e em cada faixa de :
Para é necessário .
Se : .
Se : .
Se : .
Em qualquer outro , .
Para é necessário .
Se : .
Se : .
Se : .
Fora disso, .
Somando e multiplicando por , obtemos:
Passo 6
Expressão final de y(t)= 0,&0<= t<=1, -(t-1),&1< t<2, -1,&2<= t<5, -(6-t),&5<= t<6, 0,&t>=6 para :