(LATHI, Problema 2.4-26, p. 219) Um sinal analógico é dado por x(t)=t[u(t)-u(t-1)]. Determine e trace o sinal y(t)=x(t) * x(2 t).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um sinal analógico
x(t) = t,[u(t) - u(t-1)]
e precisamos achar
y(t) = x(t) * x(2t)
ou seja, convoluir com . Isso cai em “convolução de sinais” dentro de Processamento de Sinais. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar:
  1. como escrever a convolução contínua
  2. como achar o suporte e expressão do sinal escalado
  3. montar limites de integração e calcular a integral pedaço a pedaço
A partir do próximo passo a gente começa a por a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que é x(2t) ;=; (2t),l[u(2t)-u(2t-1)r] e o que fica .
  • só existe entre e (porque faz um “retângulo” ligado ali).
  • Para achar , basta trocar por : Note que “liga” em e “desliga” em .
    Logo de até , e vale zero fora desse intervalo.

Passo 3

A convolução contínua é
y(t);=;integral-infty^infty x(tau),xl(2(t-tau)r),dtau
Mas como cada sinal só vive em certos pedaços:
  • tauinl[max(0,,t-tfrac12),;min(1,,t)r] só para y(t) = integralalpha^beta tau;l[2(t-tau)r];dtau = 2integralalpha^beta l(tau,t - tau^2r),dtau, .
  • só para , ou seja .
Logo, a região de integração é o intervalo
Dentro desse intervalo e . Então
onde e .

Passo 4

Agora vamos calcular de verdade a integral em cada faixa de y(t) =2!integral0^t(tau t - tau^2),dtau =2l[tfract,tau^22-tfractau^33r]0^t =2l[tfract^32-tfract^33r] =t^33 . O suporte de y(t)=F(t)-Fl(t-tfrac12r) =t^33,-!l[tfrac13t^3 - tfract4 + tfrac112r] =t4-112 vai de y(t) =F(1)-Fl(t-tfrac12r) =l[t - tfrac23r] -!l[tfrac13t^3 - tfract4 + tfrac112r] =-tfrac13t^3 + tfrac54t - tfrac34 até ½.
  1. Para :
    .
  2. Para :
    .
    Calcule primeiro
    .
    Então
  3. Para :
    .
  4. Fora de , .

Resposta

Em resumo,
y(t)= 0, & t<0,[6pt] dfract^33, & 0<= t=1.5
Esse é o formato final de , pronto pra desenhar!

Exercícios relacionados