(LATHI, Problema 2.4-26, p. 219) Um sinal analógico é dado por
. Determine e trace o sinal
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um sinal analógico
e precisamos achar
ou seja, convoluir
com
. Isso cai em “convolução de sinais” dentro de Processamento de Sinais. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar:
- como escrever a convolução contínua
- como achar o suporte e expressão do sinal escalado
- montar limites de integração e calcular a integral pedaço a pedaço
A partir do próximo passo a gente começa a por a mão na massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem o que é
e o que fica
.
-
só existe entre e (porque faz um “retângulo” ligado ali). - Para achar
, basta trocar por : Note que “liga” em e “desliga” em .
Logode até , e vale zero fora desse intervalo.
Passo 3
A convolução contínua é
Mas como cada sinal só vive em certos pedaços:
-
só para . -
só para , ou seja .
Logo, a região de integração é o intervalo
Dentro desse intervalo
e
. Então
onde
e
.
Passo 4
Agora vamos calcular de verdade a integral em cada faixa de
. O suporte de
vai de
até
.
- Para
:
. - Para
:
.
Calcule primeiro
.
Então - Para
:
. - Fora de
, .
Resposta
Em resumo,
Esse é o formato final de
, pronto pra desenhar!