(OPPENHEIM, Problema 2.42, p. 88) Suponha que o sinal
seja convoluído com o sinal
.
Determine o valor de
que garante
, sendo
.
Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A gente tem dois sinais:
que é um pulso retangular de largura 1 centrado em zero, e
A operação é a convolução contínua
e o que a gente quer é achar
tal que
.
Conteúdo: definição de convolução, integração de exponencial complexa e zeros de seno.
Conteúdo: definição de convolução, integração de exponencial complexa e zeros de seno.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral de convolução plugando
:
Aqui usei que
e posso sacar
pra fora da integral, porque não depende de
.
Passo 3
Agora, qual é o suporte de
? Como é
, o sinal vale 1 só quando
está entre
e
. Fora disso é zero. Então a integral vira
Pra resolver isso, sabemos que
Então, avaliando de
até
:
Lembra da fórmula
? Aplicando aqui com
:
Logo a integral fica
Passo 4
Voltando em
, juntamos tudo:
Em particular, em
isso dá
Queremos
. O denominador
só dava problema em
(mas aí vira limite
), então a condição para zerar
é
Assim
(obviamente pra
não zera, dá 1, então a gente pega
).