(OPPENHEIM, Problema 2.42, p. 88) Suponha que o sinal x(t)=u(t+12)-u(t-12) seja convoluído com o sinal h(t)=e^j omegao t.
Determine o valor de omega0 que garante y(0)=0, sendo y(t)=x(t) * h(t).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A gente tem dois sinais:
x(t)=u!l(t+tfrac12r)-u!l(t-tfrac12r)
que é um pulso retangular de largura 1 centrado em zero, e
h(t)=e^j,omega0 t
A operação é a convolução contínua
y(t)=l(x*hr)(t)=integral-infty^+inftyx(tau),h(t-tau),dtau
e o que a gente quer é achar tal que .
Conteúdo: definição de convolução, integração de exponencial complexa e zeros de seno.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral de convolução plugando y(t) =integral-infty^+inftyx(tau),e^j,omega0,(t-tau),dtau =e^j,omega0 t,integral-infty^+inftyx(tau),e^-j,omega0tau,dtau :
Aqui usei que e posso sacar pra fora da integral, porque não depende de .

Passo 3

Agora, qual é o suporte de integral-infty^+inftyx(tau),e^-jomega0tau,dtau =integral-1/2^+1/21cdot e^-jomega0tau,dtau =integral-1/2^+1/2e^-jomega0tau,dtau ? Como é integral e^-jomega0tau,dtau =e^-jomega0tau-jomega0 ½½, o sinal vale 1 só quando integral-1/2^1/2e^-jomega0tau,dtau =[e^-jomega0tau-jomega0]-1/2^1/2 =e^-jomega0/2-e^,jomega0/2-jomega0 está entre e^-jomega0/2-e^,jomega0/2=-2jsin!l(tfracomega02r) ½ e -2jsin(omega0/2)-jomega0 =2sin(omega0/2)omega0 ½. Fora disso é zero. Então a integral vira
Pra resolver isso, sabemos que
Então, avaliando de até :
Lembra da fórmula ? Aplicando aqui com :
Logo a integral fica

Passo 4

Voltando em y(t) =e^jomega0 t;cdot;2sin(omega0/2)omega0 , juntamos tudo:
y(0)=e^jomega0cdot0;2sin(omega0/2)omega0 =2sin(omega0/2)omega0
Em particular, em sin!l(tfracomega02r)=0 Longrightarrow omega02=kpi, kinZ isso dá
omega0=2,kpi, k=,pm1,pm2,dots
Queremos . O denominador só dava problema em (mas aí vira limite ), então a condição para zerar é
Assim
(obviamente pra não zera, dá 1, então a gente pega ).

Resposta

, com inteiro não-nulo, garante que .

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