(LATHI, Problema 2.4-24, p. 218) Dois sistemas (LIT) possuem respostas ao impulso dadas por:
Assuma que os dois sistemas são conectados em série. Trace a resposta
equivalente.
Assuma que os dois sistemas são conectados em série. Trace a resposta
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos dois sistemas LIT em série, com respostas ao impulso
O que a matéria pede é: “qual é a resposta equivalente
Conteúdo: – LTI em série → convolução de respostas ao impulso;
– propriedade de suporte e das funções degrau
– integrais definidas por partes.
Passo 2
Como são LTI em série, a resposta ao impulso equivalente é
Primeiro identificamos onde cada
é não nula:
-
só para . -
só para , ou seja .
Então o integrando existe somente em
Chamar de
e
. Fora desse intervalo a convolução vale zero.
Passo 3
Determinar as regiões de
em que
. A análise dá suporte
.
Dividimos em três trechos:
Dividimos em três trechos:
-
: então , . -
: então , . -
: então , .
Em cada trecho calculamos
Passo 4
Expandindo o integrando:
Logo uma primitiva é
Então em cada região basta fazer
.
Passo 5
Depois de fazer as contas, o resultado piecewise fica:
Para
:
Para
:
Para
:
E fora de
,
.
Resposta
Em forma compacta, a resposta ao impulso equivalente é