(LATHI, Problema 2.4-24, p. 218) Dois sistemas (LIT) possuem respostas ao impulso dadas por:
h1(t)=(1-t)[u(t)-u(t-1)]
h2(t)=t[u(t+2)-u(t-2)]
Assuma que os dois sistemas são conectados em série. Trace a resposta hs(t) equivalente.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos dois sistemas LIT em série, com respostas ao impulso
h1(t)=(1-t)l[u(t)-u(t-1)r], h2(t)=tl[u(t+2)-u(t-2)r]
O que a matéria pede é: “qual é a resposta equivalente desses dois em série?”.
Conteúdo: ­– LTI em série → convolução de respostas ao impulso;
– propriedade de suporte e das funções degrau ;
– integrais definidas por partes.

Passo 2

Como são LTI em série, a resposta ao impulso equivalente é
hs(t)=l(h1*h2r)(t) =integral-infty^inftyh1(tau),h2(t-tau), dtau
Primeiro identificamos onde cada tauin [0,1];cap;[,t-2,;t+2,] é não nula:
  • só para .
  • só para , ou seja .
Então o integrando existe somente em
Chamar de e . Fora desse intervalo a convolução vale zero.

Passo 3

Determinar as regiões de hs(t)=integrala^b(1-tau),(t-tau), dtau em que . A análise dá suporte .
Dividimos em três trechos:
  1. : então , .
  2. : então , .
  3. : então , .
Em cada trecho calculamos

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1-tau)(t-tau)=t-(t+1)tau+tau^2
Logo uma primitiva é
F(tau)=t,tau-t+12,tau^2+tau^33
Então em cada região basta fazer .

Passo 5

Depois de fazer as contas, o resultado piecewise fica:
Para hs(t) =F(t+2)-F(0) =-t^36+t^22+2t+23 :
hs(t) =F(1)-F(0) =t2-16
Para hs(t) =F(1)-F(t-2) =t^36-t^22-3t2+92 :
Para :
E fora de , .

Resposta

Em forma compacta, a resposta ao impulso equivalente é
hs(t)= 0, & t< -2,[6pt] -dfract^36+dfract^22+2t+dfrac23, & -2<= t<= -1,[8pt] dfract2-dfrac16, & -1< t<= 2,[8pt] dfract^36-dfract^22-dfrac3t2+dfrac92, & 2< t<= 3,[6pt] 0, & t>3

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