(LATHI, Problema 2.6-5, letra a, p. 222) Um sistema LCIT analógico com função de resposta ao impulso dada por h(t)=u(t+2)-u(t-2) recebe uma entrada x(t)=t[u(t)-u(t-2)]. Determine e trace a saída do sistema y(t)=x(t) * h(t).

Passo 1

Beleza, recapitulando rapidinho: temos um sistema LTI com resposta ao impulso
h(t)=u(t+2)-u(t-2)
e a entrada
x(t)=tl[u(t)-u(t-2)r],
O que a questão pede é a saída
y(t)=x(t)*h(t)=integral-infty^+inftyx(tau),h(t-tau),dtau
O conteúdo aqui é convolução em tempo contínuo. Para resolver, vamos precisar saber:
  1. o suporte (onde cada sinal é não nulo),
  2. escrever a integral de convolução,
  3. achar os limites de integração juntando os dois suportes,
  4. fazer a integral em cada faixa de .

Passo 2

Primeiro, qual é o suporte de x(tau)=taul[u(tau)-u(tau-2)r],? Como
x(tau)=tau,&0<=tau<=2,0,&caso contrário
sabemos que t-tau+2 >=0Longrightarrow tau<= t+2, t-tau-2<0Longrightarrow tau>t-2 vale 1 só para , e zero fora disso. Logo
á
Agora, é 1 se
isto é, para , e zero fora.

Passo 3

Então a integral de convolução vira
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau =integral0^2tau;l[underbraceu(t-tau+2)-u(t-tau-2)1 para t-2
Na prática, só integramos onde tauin[0,2]cap(,t-2,;t+2,] =l[max(0,t-2),;min(2,t+2)r] está em ambos os suportes:
taumin=max(0,t-2), taumax=min(2,t+2)
Chame
y(t)=integraltaumin^taumaxtau,dtau =tau^22m|taumin^taumax =taumax^2-taumin^22,
Então
desde que ; caso contrário .

Passo 4

Agora só falta ver para quais y(t)=(t+2)^2-0^22=(t+2)^22 quais são esses limites:
  1. Se y(t)=2^2-0^22=42=2 , então y(t)=2^2-(t-2)^22 =4-(t-2)^22 e , mas → intervalo vazio → .
  2. Se , então e , logo
    .
  3. Se , então e , logo
    .
  4. Se , então e , logo
    .
  5. Se , então e → intervalo vazio → .

Resposta

Portanto, de forma resumida,
y(t)= 0, & t< -2,[6pt] dfrac(t+2)^22, & -2<= t<0,[6pt] 2, & 0<= t<2,[6pt] dfrac4-(t-2)^22, & 2<= t<4,[6pt] 0, & t>=4
No gráfico, dá pra ver um “rampa quadrática” subindo de até , depois um platô em valor 2 de a , e então uma “rampa quadrática” descendo até , caindo a zero.

Exercícios relacionados