(LATHI, Problema 2.2-1, p. 214) Um sistema LCIT é especificado pela equação (D^2+5 D+6) y(t)=(D+1) x(t).
Determine seu polinômio característico, sua equação característica, suas raízes características e seus modos característicos.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema LTI (linear e invariante no tempo) descrito pela equação
(D^2 + 5D + 6),y(t) ;=;(D + 1),x(t),
onde é o operador . O que a questão pede é:
  • o polinômio característico;
  • a equação característica;
  • as raízes (valores de ) desse polinômio;
  • e os modos característicos (as exponenciais associadas a cada raiz).
Para fazer isso, vamos usar a ideia de que, na parte homogênea do sistema, buscamos soluções do tipo . Aí substituímos na equação homogênea e obtemos o tal polinômio em , cuja raiz dá o modo característico.

Passo 2

Primeiro, isolamos a parte homogênea, ou seja, zeramos a entrada (D^2 + 5D + 6),yh(t)=0 :
(s^2 + 5s + 6),e^st=0
Agora substituímos boxedp(s)=s^2 + 5s + 6, . Lembrando que e , isso vira
Como , o fator que importa é
que é o nosso polinômio característico.

Passo 3

A equação característica é simplesmente pôr esse polinômio igual a zero:
boxeds^2 + 5s + 6 = 0
Isso diz quais valores de permitem que seja solução da parte homogênea.

Passo 4

Agora resolvemos a equação De. Usando fatoração ou a fórmula de Bhaskara:
s = -5 pm raiz12 = -5 pm 12,
Logo
boxeds1 = -2e s2 = -3
que dá as duas raízes:

Passo 5

Os modos característicos são as exponenciais associadas a cada raiz:
e^s1 t = e^-2t e e^s2 t = e^-3t
Isso significa que, na resposta natural (homogênea) do sistema, a solução geral é
yh(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t,
onde e são constantes fixadas pelas condições iniciais.

Resposta

Polinômio característico:
Equação característica:
Raízes características: ,
Modos característicos: e

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