(LATHI, Problema 2.2-1, p. 214) Um sistema LCIT é especificado pela equação
.
Determine seu polinômio característico, sua equação característica, suas raízes características e seus modos característicos.
Determine seu polinômio característico, sua equação característica, suas raízes características e seus modos característicos.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema LTI (linear e invariante no tempo) descrito pela equação
onde
é o operador
. O que a questão pede é:
- o polinômio característico;
- a equação característica;
- as raízes (valores de
) desse polinômio; - e os modos característicos (as exponenciais associadas a cada raiz).
Para fazer isso, vamos usar a ideia de que, na parte homogênea do sistema, buscamos soluções do tipo
. Aí substituímos na equação homogênea e obtemos o tal polinômio em
, cuja raiz dá o modo característico.
Passo 2
Primeiro, isolamos a parte homogênea, ou seja, zeramos a entrada
:
Agora substituímos
. Lembrando que
e
, isso vira
Como
, o fator que importa é
que é o nosso polinômio característico.
Passo 3
A equação característica é simplesmente pôr esse polinômio igual a zero:
Isso diz quais valores de
permitem que
seja solução da parte homogênea.
Passo 4
Agora resolvemos a equação
. Usando fatoração ou a fórmula de Bhaskara:
Logo
que dá as duas raízes:
Passo 5
Os modos característicos são as exponenciais associadas a cada raiz:
Isso significa que, na resposta natural (homogênea) do sistema, a solução geral é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais.
Resposta
Polinômio característico:
Equação característica:
Raízes características: ,
Modos característicos: e
Equação característica:
Raízes características:
Modos característicos: