(LATHI, Problema 2.2-1, p. 214) Um sistema LCIT é especificado pela equação (D^2+5 D+6) y(t)=(D+1) x(t).
Determine yz i(t), a componente de entrada nula da resposta y(t) para t >= 0 se as condições iniciais forem yz i(0^-)=2 e dotyz i(0^-)=-1.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem um sistema LCIT dado por
(D^2 + 5D + 6),y(t) ;=;(D + 1),x(t)
e quer a resposta de entrada nula yzi(0^-) = 2, dot yzi(0^-) = -1 pra , ou seja, considerando . As condições iniciais são
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a ideia de resposta de entrada nula (quando zeramos a entrada e vemos só o comportamento interno). Para resolver a gente vai:
  1. montar a equação homogênea;
  2. achar a solução geral via equação característica;
  3. usar as condições iniciais pra determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, zeramos a entrada (D^2 + 5D + 6),yzi(t) ;=; 0 . Então sobra a parte homogênea:
Aqui significa “derivada em relação a ”. Essa é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é assumir solução da forma e achar .

Passo 3

Substituindo r^2 + 5r + 6 = 0 na EDO vira a equação característica:
r1 = -2, r2 = -3
Isso dá fatorando yzi(t) ;=; C1,e^-2t ;+; C2,e^-3t, , logo
Então a solução geral da homogênea é
onde e são constantes a achar.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em yzi(0) = C1 + C2 = 2 . Primeiro
dot yzi(t) = ddtl(C1e^-2t+C2e^-3tr) = -2C1e^-2t -3C2e^-3t
Depois precisamos da derivada:
dot yzi(0) = -2C1 -3C2 = -1
Em :

Passo 5

Temos o sistema em C1 + C2 = 2, -2C1 - 3C2 = -1 :
-2(2-C2) -3C2 = -1 ;Rightarrow; -4 +2C2 -3C2 = -1 ;Rightarrow; -4 - C2 = -1 ;Rightarrow; C2 = -3
Bastam substituição ou eliminação. Por exemplo, da primeira . Substituindo na segunda:
Daí .

Resposta

boxedyzi(t) = 5,e^-2t ;-;3,e^-3t, t>=0

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