(LATHI, Problema 2.2-1, p. 214) Um sistema LCIT é especificado pela equação
.
Determine
, a componente de entrada nula da resposta
para
se as condições iniciais forem
e
.
Determine
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem um sistema LCIT dado por
e quer a resposta de entrada nula
pra
, ou seja, considerando
. As condições iniciais são
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a ideia de resposta de entrada nula (quando zeramos a entrada e vemos só o comportamento interno). Para resolver a gente vai:
- montar a equação homogênea;
- achar a solução geral via equação característica;
- usar as condições iniciais pra determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, zeramos a entrada
. Então sobra a parte homogênea:
Aqui
significa “derivada em relação a
”. Essa é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é assumir solução da forma
e achar
.
Passo 3
Substituindo
na EDO vira a equação característica:
Isso dá fatorando
, logo
Então a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a achar.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais em
. Primeiro
Depois precisamos da derivada:
Em
:
Passo 5
Temos o sistema em
:
Bastam substituição ou eliminação. Por exemplo, da primeira
. Substituindo na segunda:
Daí
.