(LATHI, Problema 2.4-7, p. 215) A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é h(t)=e^-t u(t). Determine a resposta do sistema (estado nulo) yz s(t) se a sua entrada for:
x(t)=e^-2 t u(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema LTI causal cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^-tu(t)
e a entrada é
x(t)=e^-2tu(t);
O que a gente precisa achar é a resposta zero‐estado , ou seja, o que sai do sistema só levando em conta a entrada (desprezando condições iniciais).
Conteúdo: convolução de sinais contínuos. Vamos usar a definição de convolução para sistemas causais e aplicar umas regrinhas de integrais de exponenciais.

Passo 2

Teoria da vez: para um sistema LTI causal, a saída zero‐estado é
yzs(t)=integral-infty^+inftyh(tau),x(t-tau),dtau;
Mas como ambos yzs(t)=integral0^th(tau),x(t-tau),dtau; e são multiplicados por , eles valem zero para ou . Então a integral efetiva vale só de 0 a :
Substituindo
e , tudo isso para .

Passo 3

Vamos montar a integral e resolver passo a passo:
yzs(t) =integral0^te^-tau;l(e^-2(t-tau)r),dtau =integral0^te^-tau,e^-2t+2tau,dtau =integral0^te^-2t,e^+tau,dtau
Como yzs(t) =e^-2tintegral0^te^tau,dtau =e^-2tl[e^taur]0^t =e^-2tl(e^t-1r) não depende de yzs(t) =e^-2te^t-e^-2t =e^-t-e^-2t , sai da integral:
Agora é só distribuir:

Resposta

boxed,yzs(t)=l(e^-t-e^-2tr),u(t),

Exercícios relacionados