Determine a resposta de um sistema inicialmente em repouso, considerando: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra achar a saída de um sistema LTI que está “em repouso” (ou seja, sem condições iniciais complicadas).
Conteúdo da matéria: é convolução de sinais em sistemas lineares e invariantes no tempo.
O que vamos precisar:
Definição de convolução para sistemas LTI em repouso:
Saber lidar com integrais do tipo .
Passo 2
Primeiro, escrevemos a expressão da convolução:
Como o sistema está inicialmente em repouso, os limites vão de a .
Passo 3
Substituímos e .
Como e garantem que a integral só vale pra de 0 a , podemos simplificar:
Passo 4
Agora vem a parte de calcular
Para isso, usamos a técnica de integração por partes duas vezes ou lembramos da fórmula padrão:
No nosso caso , então
Passo 5
Voltando à nossa saída:
y(t) = e^-2t,I = e^-2t,15l(e^2t(2sin t - cos t) + 1r) = 15l(2sin t - cos t + e^-2tr)
E lembrando que tudo isso vale junto do , já que nosso sistema não responde antes de .