Determine a resposta y(t) de um sistema inicialmente em repouso, considerando:
x(t)=sin (t) u(t) e h(t)=e^-2 t u(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra achar a saída y(t) = (x * h)(t) = integral0^t x(tau),h(t-tau),dtau de um sistema LTI que está “em repouso” (ou seja, sem condições iniciais complicadas).
Conteúdo da matéria: é convolução de sinais em sistemas lineares e invariantes no tempo.
O que vamos precisar:
  1. Definição de convolução para sistemas LTI em repouso:
  2. Saber lidar com integrais do tipo .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a expressão da convolução:
y(t) = integral0^t x(tau),h(t-tau),dtau
Como o sistema está inicialmente em repouso, os limites vão de a .

Passo 3

Substituímos y(t) = integral0^t sin(tau),e^-2,(t-tau),dtau = e^-2t!integral0^t sin(tau),e^2tau,dtau e .
Como e garantem que a integral só vale pra de 0 a , podemos simplificar:

Passo 4

Agora vem a parte de calcular
integral e^atausin(tau),dtau = e^ataua^2+1l(asin(tau)-cos(tau)r) + C
Para isso, usamos a técnica de integração por partes duas vezes ou lembramos da fórmula padrão:
I = e^2tau2^2+1l(2sintau - costaur)|0^t = 15l[e^2t(2sin t - cos t) - l(2cdot0 - 1r)r] = 15l(e^2t(2sin t - cos t) + 1r)
No nosso caso , então

Passo 5

Voltando à nossa saída:
y(t) = e^-2t,I = e^-2t,15l(e^2t(2sin t - cos t) + 1r) = 15l(2sin t - cos t + e^-2tr)
E lembrando que tudo isso vale junto do , já que nosso sistema não responde antes de .

Resposta

y(t) = 15l(2sin t ;-;cos t ;+; e^-2tr),u(t)

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