Determine a resposta y(t) de um sistema inicialmente em repouso, considerando:
x(t)=2 e^-2 t u(t) e h(t)=e^-t u(t).

Passo 1

Beleza, aqui o problema é achar a saída x(t) = 2,e^-2t,u(t) de um sistema LTI (linear e invariante no tempo) que está inicialmente em repouso. A entrada é
h(t) = e^-t,u(t)
e a resposta ao impulso é
y(t) = (x*h)(t) = integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
O que vamos usar aqui é a teoria de convolução: para um sistema causal em repouso, a saída é
Como tanto quanto são zero para , o integral na prática vai de a .

Passo 2

Definindo de fato a convolução para t ≥ 0:
y(t) ;=;integral0^t x(tau),h(t-tau),dtau
Aqui estamos usando:
  • linha­ricidade e invariância no tempo permitem escrever a saída como convolução.
  • causalidade + repouso (nada antes de ) limita os limites de integração a .

Passo 3

Vamos substituir x(tau) = 2,e^-2tau, h(t-tau) = e^-(t-tau) e y(t) = integral0^t 2,e^-2tau ;cdot; e^-(t-tau) ;dtau = 2,e^-t,integral0^t e^-2tau ,e^+tau;dtau = 2,e^-t,integral0^t e^-tau;dtau :
Então
Repare que juntamos , daí ficou fácil.

Passo 4

Só falta resolver o integral
integral0^t e^-tau,dtau = l[-e^-taur]0^t = l(-e^-tr) - l(-e^0r) = 1 - e^-t
Logo
y(t) = 2,e^-t,l(1 - e^-tr) = 2,e^-t - 2,e^-2t
E não esquece o pra garantir causalidade.

Resposta

boxedy(t) = l(2,e^-t - 2,e^-2tr),u(t)

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