Determine a resposta
de um sistema inicialmente em repouso, considerando:
e
.
Passo 1
Beleza, aqui o problema é achar a saída
de um sistema LTI (linear e invariante no tempo) que está inicialmente em repouso. A entrada é
e a resposta ao impulso é
O que vamos usar aqui é a teoria de convolução: para um sistema causal em repouso, a saída é
Como tanto
quanto
são zero para
, o integral na prática vai de
a
.
Passo 2
Definindo de fato a convolução para t ≥ 0:
Aqui estamos usando:
- linharicidade e invariância no tempo permitem escrever a saída como convolução.
- causalidade + repouso (nada antes de
) limita os limites de integração a .
Passo 3
Vamos substituir
e
:
Então
Repare que juntamos
, daí ficou fácil.
Passo 4
Só falta resolver o integral
Logo
E não esquece o
pra garantir causalidade.