Um lavador de janelas de 75 kg usa uma escada com 10 kg de massa e 5,0 m de comprimento. Ele apoia uma extremidade no piso a 2,5 m de uma parede, encosta a extremidade oposta em uma janela rachada e começa a subir. Depois de o lavador percorrer uma distância de 3,0 m ao longo da escada, a janela quebra. Despreze o atrito entre a escada e a janela e suponha que a base da escada não escorregue. Quando a janela está na iminência de quebrar, qual é o ângulo (em relação à horizontal) da força que o piso exerce sobre a escada?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o problema manda:
Um lavador de janelas (massa 75 kg) usa uma escada de 5,0 m (massa 10 kg). A base da escada está a 2,5 m da parede. Ele sobe 3,0 m ao longo da escada e, justo nesse instante, a janela trinca (ou seja, deixa de exercer força na escada). Queremos saber qual é o ângulo (em relação à horizontal) da força resultante que o piso está fazendo na escada.
Conteúdo: equilíbrio estático (forças e torques). Vamos precisar de:
  • decompor forças vertical e horizontal na base;
  • usar soma de torques para achar a reação horizontal no topo;
  • somar forças para achar a reação vertical na base;
  • achar o ângulo via arctan.

Passo 2

Primeiro, a geometria da escada dá o ângulo θ que ela faz com a horizontal. A base está a 2,5 m e o comprimento total é 5,0 m, então
costheta = cateto adjacentehipotenusa = 2,55,0 = 0,5 Longrightarrow theta = 60^circ

Passo 3

Agora o diagrama de corpo livre da escada (quando a janela não empurra mais):
  1. Peso da escada , atuando no centro (2,5 m do pé).
  2. Peso do lavador , atuando a 3,0 m do pé.
  3. No topo, a janela não exerce mais força (está prestes a quebrar).
  4. Na base, o piso exerce uma força resultante , que a gente decompõe em (horizontal) e (vertical).

Passo 4

Equilíbrio de torques em relação à base (soma dos torques = 0). Escolhemos sentido anti-horário como positivo.
  • A reação horizontal no topo, N,(4,33) ;-; 98,(1,25);-;735,(1,5);=;0 , tende a girar a escada em anti-horário.
  • Os pesos giram em sentido horário.
Braços de alavanca (distâncias perpendiculares ao braço de rotação):
  • Pra N = 98cdot1,25 + 735cdot1,54,33 = 122,5 + 1102,54,33 = 12254,33 approx 283; N : braço = altura da escada = .
  • Pra : braço = (L/2) .
  • Pra : braço = .
Montando a equação:

Passo 5

Equilíbrio de forças (soma vetorial = 0):
  • Horizontal:
  • Vertical:

Passo 6

O ângulo phi = arctan!l(tfracVHr) = arctan!l(tfrac833283r) approx 71,4^circ entre a força resultante e a horizontal é

Resposta

O piso exerce na escada uma força que faz um ângulo de aproximadamente 71° em relação à horizontal.

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