Um lavador de janelas de 75 kg usa uma escada com 10 kg de massa e
de comprimento. Ele apoia uma extremidade no piso a
de uma parede, encosta a extremidade oposta em uma janela rachada e começa a subir. Depois de o lavador percorrer uma distância de
ao longo da escada, a janela quebra. Despreze o atrito entre a escada e a janela e suponha que a base da escada não escorregue. Quando a janela está na iminência de quebrar, qual é o ângulo (em relação à horizontal) da força que o piso exerce sobre a escada?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o problema manda:
Um lavador de janelas (massa 75 kg) usa uma escada de 5,0 m (massa 10 kg). A base da escada está a 2,5 m da parede. Ele sobe 3,0 m ao longo da escada e, justo nesse instante, a janela trinca (ou seja, deixa de exercer força na escada). Queremos saber qual é o ângulo (em relação à horizontal) da força resultante que o piso está fazendo na escada.
Conteúdo: equilíbrio estático (forças e torques). Vamos precisar de:
Um lavador de janelas (massa 75 kg) usa uma escada de 5,0 m (massa 10 kg). A base da escada está a 2,5 m da parede. Ele sobe 3,0 m ao longo da escada e, justo nesse instante, a janela trinca (ou seja, deixa de exercer força na escada). Queremos saber qual é o ângulo (em relação à horizontal) da força resultante que o piso está fazendo na escada.
Conteúdo: equilíbrio estático (forças e torques). Vamos precisar de:
- decompor forças vertical e horizontal na base;
- usar soma de torques para achar a reação horizontal no topo;
- somar forças para achar a reação vertical na base;
- achar o ângulo via arctan.
Passo 2
Primeiro, a geometria da escada dá o ângulo θ que ela faz com a horizontal. A base está a 2,5 m e o comprimento total é 5,0 m, então
Passo 3
Agora o diagrama de corpo livre da escada (quando a janela não empurra mais):
- Peso da escada
, atuando no centro (2,5 m do pé). - Peso do lavador
, atuando a 3,0 m do pé. - No topo, a janela não exerce mais força (está prestes a quebrar).
- Na base, o piso exerce uma força resultante
, que a gente decompõe em (horizontal) e (vertical).
Passo 4
Equilíbrio de torques em relação à base (soma dos torques = 0). Escolhemos sentido anti-horário como positivo.
- A reação horizontal no topo,
, tende a girar a escada em anti-horário. - Os pesos giram em sentido horário.
Braços de alavanca (distâncias perpendiculares ao braço de rotação):
- Pra
: braço = altura da escada = . - Pra
: braço = (L/2) . - Pra
: braço = .
Montando a equação:
Passo 5
Equilíbrio de forças (soma vetorial = 0):
- Horizontal:
- Vertical:
Passo 6
O ângulo
entre a força resultante
e a horizontal é
Resposta
O piso exerce na escada uma força que faz um ângulo de aproximadamente 71° em relação à horizontal.