1. (U.F. Lavras-MG) Os computadores trabalham com números na base 2 por uma série de fatores. Nessa base, os resultados da soma e do produto (1100101)+(110101) e (101) \times(111) são, respectivamente,
    a)(11111110),(11101)
    b)(1000011),(100001)
    c)(10101010),(101010)
    d) (10011010), (100011)
    e) (11100011), (111000)

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos em base 2 (binário):
  • Somar \,1100101 + 110101\,.
  • Multiplicar \,101 \times 111\,.
Informações dadas:
  • Os números estão em base 2 (cada dígito é 0 ou 1).
  • Precisa-se do resultado de cada operação em base 2.

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar como funcionam as operações em binário (regras básicas), porque é com isso que você vai operar na prova.
Regras da adição bit a bit (sem e com carry):
  • 0+0=0 (carry 0).
  • 0+1=1 (carry 0).
  • 1+1=0 e gera carry 1 (porque 1+1=2 decimal, que é 10_2).
  • 1+1+1=1 e gera carry 1 (porque 1+1+1=3 decimal, que é 11_2).
Regra da multiplicação bit a bit:
  • Multiplicar por 0 0.
  • Multiplicar por 1 dá o próprio número.
  • Multiplicação por um bit mais à esquerda equivale a deslocar (shift) o número para a esquerda: deslocar 1 posição = multiplicar por 2 (em binário).
Sempre faça a multiplicação como “produto parcial + deslocamentos” e depois some os produtos parciais usando as regras de adição.

Passo 3

Vamos somar \,1100101 + 110101. Primeiro deixe os dois números com o mesmo número de dígitos, adicionando zeros à esquerda quando necessário:
1100101
0110101
Aqui a segunda linha é o \,110101\, escrito como \,0110101\, (peguei esse dado do enunciado ao observar o segundo somando).
Agora somamos coluna a coluna, da direita para a esquerda, mantendo o carry.

Passo 4

Somando coluna a coluna (da direita para a esquerda), indicando para cada coluna o cálculo e o carry gerado:
Coluna mais à direita:
1 + 1 = 0 \quad\text{(carry }1\text{)}
Próxima coluna:
0 + 0 + \text{carry }1 = 1 \quad\text{(carry }0\text{)}
Próxima:
1 + 1 + 0 = 0 \quad\text{(carry }1\text{)}
Próxima:
0 + 0 + 1 = 1 \quad\text{(carry }0\text{)}
Próxima:
0 + 1 + 0 = 1 \quad\text{(carry }0\text{)}
Próxima:
1 + 1 + 0 = 0 \quad\text{(carry }1\text{)}
Coluna mais à esquerda (incluindo carry final):
1 + 0 + 1 = 0 \quad\text{(carry }1\text{)} \Rightarrow \text{fica um carry final }1.
Juntando os bits resultantes (do carry final para a direita) obtemos:
10011010
Se quiser conferir numericamente: 1100101_2 = 101_{10} e 110101_2 = 53_{10}. Soma 101+53=154_{10}. O binário 10011010_2 vale 128+16+8+2=154_{10}, conferindo que a soma está correta.

Passo 5

Agora a multiplicação \,101 \times 111\,.
Primeiro, entenda que cada bit de \,111\, vai gerar um produto parcial. Escrevemos os parciais deslocados (porque multiplicar por um bit mais à esquerda é deslocar para a esquerda):
  • Multiplicador LSB (bit menos significativo) = 1 → parcial 1 (sem deslocamento):
101
  • Próximo bit = 1 → parcial 2 (deslocar 1 posição à esquerda):
1010
  • Próximo bit mais à esquerda = 1 → parcial 3 (deslocar 2 posições à esquerda):
10100
Esses três parciais vêm do fato de que peguei os bits do multiplicador 111 (todos iguais a 1) do enunciado.

Passo 6

Somar os parciais:
Primeiro somamos os dois primeiros:
\begin{array}{r} 0101\\\\ +1010\\\ \hline 1111 \end{array}
Explicação da soma: 1+0=1, 0+1=1, 1+0=1, 0+1=1 (sem carries complicados aqui).
Agora somamos esse resultado com o terceiro parcial:
\begin{array}{r} 01111\\\\ +10100\\\ \hline 100011 \end{array}
Fazendo coluna a coluna:
  • direita: 1+0=1
  • próxima: 1+0=1
  • próxima: 1+1=0 carry 1
  • próxima: 1+0+1(\text{carry})=0 carry 1
  • próxima: 0+1+1(\text{carry})=0 carry 1
  • carry final 1 vira o bit mais à esquerda.
Portanto o produto é
100011.
Checagem decimal: 101_2 = 5_{10}, 111_2 = 7_{10}, produto 5\cdot7=35_{10}. O binário 100011_2 vale 32+2+1=35_{10}, está correto.

Passo 7

Resumo (para você decorar na prova):
  • Soma: os dois somandos foram alinhados, somados coluna a coluna com carries; resultado final foi \,10011010\,.
  • Multiplicação: calcular parciais (cada bit do multiplicador produz o número ou zero, deslocado), somar parciais; resultado final foi \,100011\,.
Força aí: essas técnicas são exatamente o que mais aparece em prova — treina esse procedimento umas vezes e fica automático.

Resposta

(10011010)
(100011)

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