1. (FEI-SP) Sejam os conjuntos \mathrm{A}=\{\mathrm{x} \in \mathbb{N} \mid x é ímpar \}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \in \mathbb{Z} \mid-3<\mathrm{x} \leqslant 7\} e \mathrm{C}=\{\mathrm{x} \in \mathbb{N} \mid \mathrm{x}<7\}. Considere o conjunto \mathrm{D}=\mathrm{B}-(\mathrm{A} \cap \mathrm{C}). A quantidade de elementos de D é um número:
    a) múltiplo de 5 .
    b) divisível por 3 .
    c) maior do que 10 .
    d) menor do que 4 .
    e) ímpar.

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos e pede para considerar D obtido por uma operação entre eles, e então identificar qual das alternativas descreve a quantidade de elementos de D. Dados do enunciado:
  • A=\{\;x\in\mathbb{N}\mid x\text{ é ímpar}\;\}éí.
  • B=\{\;x\in\mathbb{Z}\mid -3<x\leqslant7\;\}.
  • C=\{\;x\in\mathbb{N}\mid x<7\;\}.
  • D=B-(A\cap C).
O que o enunciado pergunta: qual das opções a)–e) é verdadeira para a quantidade de elementos de D.
Observação importante que vou usar (convenção): vou considerar \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais começando em 1) — esta é a convenção usual em muitos exercícios e adequada aqui pois aparecem desigualdades com <7.

Passo 2

Interpretação e enumeração do conjunto C. Por definição:
C=\{\;x\in\mathbb{N}\mid x<7\;\}.
Como \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, os elementos de C são
C=\{1,2,3,4,5,6\}.
Explanação rápida: C contém todos os naturais menores que 7, portanto os números naturais de 1 até 6.

Passo 3

Descrição do conjunto A. Por definição:
A=\{\;x\in\mathbb{N}\mid x\text{ é ímpar}\;\}.éí
Isso é o conjunto infinito \{1,3,5,7,9,\dots\}. Não preciso listar tudo agora, apenas lembrar que os ímpares em \mathbb{N} começam por 1,3,5,\dots.

Passo 4

Cálculo de A\cap C. Interseção significa "elementos que pertencem simultaneamente a A e a C". Como C=\{1,2,3,4,5,6\} e A são os ímpares naturais, os elementos ímpares de C são
A\cap C=\{1,3,5\}.
Explicando: entre 1,2,3,4,5,6 apenas 1,3,5 são ímpares.

Passo 5

Enumeração do conjunto B. Por definição:
B=\{\;x\in\mathbb{Z}\mid -3<x\leqslant7\;\}.
Condição -3<x significa x>-3 (estrito), e com x\in\mathbb{Z} temos os inteiros a partir de -2. A condição x\leqslant7 corta em 7. Então os elementos de B são
B=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Contagem rápida: há 10 elementos em B.

Passo 6

Cálculo de D=B-(A\cap C). Subtração de conjuntos (diferença) significa retirar de B todos os elementos que estão em A\cap C. Já achei
A\cap C=\{1,3,5\}, \qquad B=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Removendo 1,3,5 de B fica
D=\{-2,-1,0,2,4,6,7\}.
Agora conto os elementos de D: há 7 elementos.

Passo 7

Verificação de qual alternativa se aplica à quantidade \#D=7:
  • a) múltiplo de 5? Não: 7 não é múltiplo de 5.
  • b) divisível por 3? Não: 7\div3 deixa resto 1.
  • c) maior do que 10? Não: 7<10.
  • d) menor do que 4? Não: 7\geqslant4.
  • e) ímpar? Sim: 7 é um número ímpar.
Portanto a alternativa correta é a que afirma que a quantidade de elementos de D é ímpar.

Resposta

e) ímpar.

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