\left.18^{\circ}\right) Dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}2 & -7 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 5 & -9 & 6\end{array}\right] calcular M \cdot M^{T} e classificar a matriz M.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto M \cdot M^{T} de uma matriz quadrada M de ordem 3 e, em seguida, “classificar” M. Aqui vamos usar dois conceitos principais:
1. Multiplicação de matrizes, lembrando que
(M M^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{3}M_{ik}\,M_{jk}.
2. Classificação de uma matriz quadrada quanto à invertibilidade: se \det(M)\neq0, então M é invertível (ou não singular).

Passo 2

Vamos calcular cada entrada de M\,M^{T}. Como
M=\begin{pmatrix} 2 & -7 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 5 & -9 & 6 \end{pmatrix},
então
M\,M^{T}=\begin{pmatrix} \sum M_{1k}M_{1k} & \sum M_{1k}M_{2k} & \sum M_{1k}M_{3k} \\[6pt] \sum M_{2k}M_{1k} & \sum M_{2k}M_{2k} & \sum M_{2k}M_{3k} \\[6pt] \sum M_{3k}M_{1k} & \sum M_{3k}M_{2k} & \sum M_{3k}M_{3k} \end{pmatrix}.
Calculando cada soma:
\begin{aligned} (MM^{T})_{11}&=2^2+(-7)^2+1^2=4+49+1=54,\\\ (MM^{T})_{12}&=2\cdot3+(-7)\cdot4+1\cdot2=6-28+2=-20,\\\ (MM^{T})_{13}&=2\cdot5+(-7)\cdot(-9)+1\cdot6=10+63+6=79,\\\ (MM^{T})_{22}&=3^2+4^2+2^2=9+16+4=29,\\\ (MM^{T})_{23}&=3\cdot5+4\cdot(-9)+2\cdot6=15-36+12=-9,\\\ (MM^{T})_{33}&=5^2+(-9)^2+6^2=25+81+36=142. \end{aligned}
Como a matriz é simétrica, completamos com (MM^{T})_{21}=-20, (MM^{T})_{31}=79, (MM^{T})_{32}=-9. Logo
MM^{T}=\begin{pmatrix} 54 & -20 & 79\\\\ -20 & 29 & -9\\\\ 79 & -9 & 142 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para classificar M quanto à invertibilidade, calculamos \det(M). Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores, encontra-se
\det(M)=93\neq0.
Assim M é invertível (ou seja, é uma matriz regular ou não singular). Além disso, M não é simétrica (pois M\neq M^{T}) e não satisfaz M^{T}M=I, logo não é ortogonal.

Resposta

M\,M^{T}=\begin{pmatrix} 54 & -20 & 79\\\\ -20 & 29 & -9\\\\ 79 & -9 & 142 \end{pmatrix},
e M é invertível (matriz não singular), pois \det(M)=93\neq0.

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