19 { }^{\circ} ) Dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\\ \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] calcular M . M^{T} e classificar a matriz M.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} \cos x & -\operatorname{sen}x & 0\\\ \operatorname{sen}x & \cos x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular M\,M^{T} e depois “classificar” M. Para isso vamos usar (1) a definição de matriz transposta, (2) o produto de matrizes e (3) a definição de matriz ortogonal (isto é, M\,M^{T}=I) e de determinante.
Passo 2
Primeiro escrevemos a transposta M^{T} trocando linhas por colunas: