19 { }^{\circ} ) Dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}\cos x & -\operatorname{sen} x & 0 \\\ \operatorname{sen} x & \cos x & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] calcular M . M^{T} e classificar a matriz M.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} \cos x & -\operatorname{sen}x & 0\\\ \operatorname{sen}x & \cos x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular M\,M^{T} e depois “classificar” M. Para isso vamos usar ( 1) a definição de matriz transposta, ( 2) o produto de matrizes e ( 3) a definição de matriz ortogonal (isto é, M\,M^{T}=I) e de determinante.

Passo 2

Primeiro escrevemos a transposta M^{T} trocando linhas por colunas:
M^{T} = \begin{pmatrix} \cos x & \operatorname{sen}x & 0\\\\ -\,\operatorname{sen}x & \cos x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora montamos o produto M\,M^{T}:
M\,M^{T} =\begin{pmatrix} \cos x & -\operatorname{sen}x & 0\\\ \operatorname{sen}x & \cos x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos x & \operatorname{sen}x & 0\\\\ -\,\operatorname{sen}x & \cos x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculemos os blocos principais:
— Entrada (1,1): \cos x\cdot\cos x +(-\operatorname{sen}x)\cdot(-\operatorname{sen}x)=\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1.
— Entrada (1,2): \cos x\cdot\operatorname{sen}x+(-\operatorname{sen}x)\cdot\cos x=0.
— Entrada (2,1): \operatorname{sen}x\cdot\cos x+\cos x\cdot(-\operatorname{sen}x)=0.
— Entrada (2,2): \operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}x+\cos x\cdot\cos x=\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1.
No bloco inferior a multiplicação dá \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Juntando tudo,
M\,M^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{3}.

Passo 5

Como M\,M^{T}=I_{3}, M é ortogonal. Além disso, o determinante do bloco 2\times2 de rotação é
\det\begin{pmatrix}\cos x & -\operatorname{sen}x\\[6pt] \operatorname{sen}x & \cos x\end{pmatrix} =\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1
e o terceiro pivô é 1, logo \det M=1. Portanto M\in SO(3) e representa uma rotação de ângulo x em torno do eixo z.]

Resposta

M\,M^{T}=I_{3}.
M é ortogonal com \det M=1 (matriz de rotação em torno de z).

Exercícios relacionados