Sejam o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 e as matrizes \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rr}0 & 3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] e \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]
Verificar se são verdadeiras ou falsas as seguintes igualdades:
P(A+B)=P(A)+P(B) \text { e } P(2 . A)=2 . P(A) \text { . }

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^2-4 e as matrizes
A=\begin{pmatrix}0 & 3\\\ -1 & 2\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Queremos verificar as igualdades
P(A+B)\stackrel{?}{=}P(A)+P(B) \quad\text{e}\quad P(2A)\stackrel{?}{=}2\,P(A).
O conteúdo aqui é que a aplicação de um polinômio a matrizes não é um operador linear em geral, então é de se esperar contraexemplos para essas propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Calcular P(A+B):
A+B=\begin{pmatrix}0+2 & 3-3\\\ -1+1 & 2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
Em seguida,
(A+B)^2 =\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 0 & 9\end{pmatrix},
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P(A+B)=(A+B)^2-4I =\begin{pmatrix}4-4 & 0\\\ 0 & 9-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 5\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular P(A) e P(B) separadamente:
Para A,
A^2 =\begin{pmatrix}0 & 3\\\ -1 & 2\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}-3 & 6\\\ -2 & 1\end{pmatrix}, \quad P(A)=A^2-4I =\begin{pmatrix}-3-4 & 6\\\ -2 & 1-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.
Para B,
B^2 =\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & 1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}1 & -9\\\ 3 & -2\end{pmatrix}, \quad P(B)=B^2-4I =\begin{pmatrix}1-4 & -9\\\ 3 & -2-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & -9\\\ 3 & -6\end{pmatrix}.
Somando,
P(A)+P(B) =\begin{pmatrix}-7 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-3 & -9\\\ 3 & -6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-10 & -3\\\ 1 & -9\end{pmatrix}.

Passo 4

Comparando
P(A+B)=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 5\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}-10 & -3\\\ 1 & -9\end{pmatrix} = P(A)+P(B),
vemos que a primeira igualdade é falsa.

Passo 5

Calcular P(2A):
(2A)^2=4\,A^2 =4\begin{pmatrix}-3 & 6\\\ -2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12 & 24\\\ -8 & 4\end{pmatrix},
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P(2A)=(2A)^2-4I =\begin{pmatrix}-12-4 & 24\\\ -8 & 4-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-16 & 24\\\ -8 & 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Calcular 2\,P(A):
2\,P(A)=2\begin{pmatrix}-7 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-14 & 12\\\ -4 & -6\end{pmatrix}.

Passo 7

Comparando
P(2A)=\begin{pmatrix}-16 & 24\\\ -8 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}-14 & 12\\\ -4 & -6\end{pmatrix} =2\,P(A),
vemos que a segunda igualdade também é falsa.

Resposta

P( A+B) =P(A) +P(B)? Falso.
P( 2A) =2\cdotP(A)? Falso.

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