\left.18^{\circ}\right). Determine a equação do plano tangente ao elipsoide 4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}-49=0 no ponto P\left(1,-2, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá o elipsoide definido por
F(x,y,z)=4x^{2}+9y^{2}+z^{2}-49=0
e pede a equação do plano tangente em P\bigl(1,-2,\tfrac12\bigr). Vamos usar o fato de que, para uma superfície de nível F(x,y,z)=0, o plano tangente em P é dado por
\nabla F(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) =(8x,\,18y,\,2z).

Passo 3

Avaliamo-lo no ponto P\bigl(1,-2,\tfrac12\bigr):
\nabla F\bigl(1,-2,\tfrac12\bigr) =(8\cdot1,\;18\cdot(-2),\;2\cdot\tfrac12) =(8,\,-36,\;1).

Passo 4

Escrevemos a equação do plano tangente:
(8,\,-36,\,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,-2,\tfrac12)\bigr)=0,
isto é,
8(x-1)-36(y+2)+1\bigl(z-\tfrac12\bigr)=0.
Expandindo e somando constantes:
8x-8-36y-72+z-\tfrac12=0 \quad\Longrightarrow\quad 8x-36y+z-\tfrac{161}{2}=0.
Uma forma comum é multiplicar por 2:
16x-72y+2z-161=0.

Resposta

A equação do plano tangente é
16x-72y+2z-161=0.

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