-
, sendo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com
.
O que é pedido: encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial.
O que é pedido: encontrar a função
Passo 2
Vamos escrever
e reorganizar para separar as variáveis
e
. Partindo de
podemos isolar os termos em
de um lado e os em
do outro multiplicando ambos os lados por
:
Explicação didática: “separar variáveis” significa conseguir uma expressão da forma
, para então integrar ambos os lados. Aqui foi possível porque
nunca é zero (logo podemos dividir por ele sem problema).
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Calcule o lado esquerdo:
.
Para o lado direito, use a substituição . Então
, e
Para o lado direito, use a substituição
porque
sempre. Portanto a relação obtida é
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos
Logo
Passo 5
Substituindo
de volta na fórmula e isolando
, temos
Multiplicando por
:
Usando a propriedade dos logaritmos
, simplificamos:
Portanto
Escolhemos o sinal
ou
observando a condição inicial: como
, devemos tomar o ramo positivo para garantir continuidade em
. Assim
Passo 6
Verificação rápida em
:
, logo
, que confere com a condição inicial. Observação sobre domínio: o radicando deve ser não negativo para solução real; em
ele é
, e a solução construída é contínua perto de
.