1. \left(1+e^{x}\right) y y^{\prime}=e^{x}, sendo y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
(1+e^{x})\,y\,y' = e^{x},
com y(0)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escrever y'=\dfrac{dy}{dx} e reorganizar para separar as variáveis y e x. Partindo de
(1+e^{x})\,y\,\frac{dy}{dx}=e^{x},
podemos isolar os termos em y de um lado e os em x do outro multiplicando ambos os lados por \dfrac{dx}{1+e^{x}}:
y\,dy=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Explicação didática: “separar variáveis” significa conseguir uma expressão da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar ambos os lados. Aqui foi possível porque 1+e^{x} nunca é zero (logo podemos dividir por ele sem problema).

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Calcule o lado esquerdo: \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Para o lado direito, use a substituição u=1+e^{x}. Então du=e^{x}\,dx, e
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(1+e^{x}) + C,
porque u=1+e^{x}>0 sempre. Portanto a relação obtida é
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+e^{x}) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+e^{x}) + C,
obtemos
\frac{1^{2}}{2} = \ln(1+e^{0}) + C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = \ln 2 + C.
Logo
C = \frac{1}{2} - \ln 2.

Passo 5

Substituindo C de volta na fórmula e isolando y, temos
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+e^{x}) + \frac{1}{2} - \ln 2.
Multiplicando por 2:
y^{2} = 2\ln(1+e^{x}) + 1 - 2\ln 2.
Usando a propriedade dos logaritmos 2\ln a - 2\ln b = 2\ln\frac{a}{b}, simplificamos:
y^{2} = 1 + 2\ln\!\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right).
Portanto
y(x) = \pm\sqrt{\,1 + 2\ln\!\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)\,}.
Escolhemos o sinal + ou - observando a condição inicial: como y(0)=1>0, devemos tomar o ramo positivo para garantir continuidade em x=0. Assim
y(x)=\sqrt{\,1 + 2\ln\!\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)\,}.

Passo 6

Verificação rápida em x=0: \displaystyle 1+2\ln\!\left(\frac{1+e^{0}}{2}\right)=1+2\ln 1=1, logo y(0)=\sqrt{1}=1, que confere com a condição inicial. Observação sobre domínio: o radicando deve ser não negativo para solução real; em x=0 ele é 1, e a solução construída é contínua perto de 0.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,1 + 2\ln\!\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)\,}

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