Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
Nos Exercícios de 1 a 10
mostre que
Nos Exercícios de 1 a 10
mostre que
Passo 1
O enunciado dá:
e pede as derivadas parciais
e
de duas formas: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo
e
em
antes de derivar. Além disso, pede mostrar que
(ou seja, que as derivadas parciais mistas coincidem) para essa função.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A função
é dada em termos de e . -
e são dadas em termos de e . - Vamos calcular
e por dois métodos e depois calcular as derivadas mistas para mostrar que são iguais.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (didático): se
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante, e
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante. A mesma fórmula vale trocando
por
:
Vamos calcular
e
para
. Trate
como constante para
e
como constante para
.
Passo 3
Calcule
e
:
Primeiro, note que a função interna é . A derivada de
em relação a essa expressão é
. Usando a regra da cadeia interna para
:
Primeiro, note que a função interna é
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Logo
Agora
:
Passo 4
Calcule
a partir de
e
:
Passo 5
Agora aplique a regra da cadeia para
:
Vamos simplificar substituindo
e
para ver o que isso dá explicitamente. Primeiro calcule
:
Então
E
Somando os dois termos dentro do parêntese obtemos zero. Portanto
Esse resultado faz sentido: a razão
fica independente de
(veremos isso direto na substituição).
Passo 6
Agora aplique a regra da cadeia para
:
Simplificamos termo a termo substituindo
e
. Já sabemos
. Então
E
Somando,
Podemos ainda notar que
, então
. Logo
Passo 7
Agora método (b): substituir primeiro
e
em
. Calcule
:
portanto
Isso já mostra intuitivamente por que
:
não depende de
, só de
.
Passo 8
Derive
diretamente:
porque não há
na expressão. Para
, use a regra da cadeia para uma função composta
:
que coincide com o resultado do método da cadeia.
Passo 9
Mostre que as derivadas parciais mistas coincidem (
). Calcule as mistas explicitamente:
- Primeiro
. Como (identicamente), temos
- Agora
. Mas depende só de , não de , então sua derivada em relação a é zero:
Logo as derivadas mistas são iguais:
. Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (se as derivadas segundas contínuas, as mistas coincidem); aqui a função é suave e as mistas são contínuas.