Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
u=e^{y / x} ; x=2 r \cos t ; y=4 r \operatorname{sen} t ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial t}
Nos Exercícios de 1 a 10
mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y)

Passo 1

O enunciado dá:
u=e^{y/x},\qquad x=2r\cos t,\qquad y=4r\operatorname{sen} t
e pede as derivadas parciais \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial t} de duas formas: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo x e y em u antes de derivar. Além disso, pede mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (ou seja, que as derivadas parciais mistas coincidem) para essa função.
Informações relevantes listadas:
  • A função u é dada em termos de x e y.
  • x e y são dadas em termos de r e t.
  • Vamos calcular \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial t} por dois métodos e depois calcular as derivadas mistas para mostrar que são iguais.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (didático): se u=u(x,y) e x=x(r,t),\,y=y(r,t), então a derivada parcial de u em relação a r é
\frac{\partial u}{\partial r}=u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x mantendo y constante, e u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial de u em relação a y mantendo x constante. A mesma fórmula vale trocando r por t:
\frac{\partial u}{\partial t}=u_x\frac{\partial x}{\partial t}+u_y\frac{\partial y}{\partial t}.
Vamos calcular u_x e u_y para u=e^{y/x}. Trate y como constante para u_x e x como constante para u_y.

Passo 3

Calcule u_x e u_y:
Primeiro, note que a função interna é \dfrac{y}{x}. A derivada de e^{y/x} em relação a essa expressão é e^{y/x}. Usando a regra da cadeia interna para u_x:
u_x = e^{y/x}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{y}{x^2}.
Logo
u_x = -\frac{y}{x^2}e^{y/x}.
Agora u_y:
u_y = e^{y/x}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{x}\right) = e^{y/x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}e^{y/x}.

Passo 4

Calcule \dfrac{\partial x}{\partial r},\dfrac{\partial y}{\partial r},\dfrac{\partial x}{\partial t},\dfrac{\partial y}{\partial t} a partir de x=2r\cos t e y=4r\operatorname{sen} t:
\frac{\partial x}{\partial r}=2\cos t,\qquad \frac{\partial y}{\partial r}=4\operatorname{sen} t,
\frac{\partial x}{\partial t}=2r(-\operatorname{sen} t)=-2r\operatorname{sen} t,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=4r\cos t.

Passo 5

Agora aplique a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial r}:
\frac{\partial u}{\partial r}=u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r} = e^{y/x}\!\left(-\frac{y}{x^2}\cdot 2\cos t + \frac{1}{x}\cdot 4\operatorname{sen} t\right).
Vamos simplificar substituindo x=2r\cos t e y=4r\operatorname{sen} t para ver o que isso dá explicitamente. Primeiro calcule \dfrac{y}{x^2}:
\frac{y}{x^2}=\frac{4r\operatorname{sen} t}{(2r\cos t)^2}=\frac{4r\operatorname{sen} t}{4r^2\cos^2 t}=\frac{\operatorname{sen} t}{r\cos^2 t}.
Então
-\frac{y}{x^2}\cdot 2\cos t = -\frac{\operatorname{sen} t}{r\cos^2 t}\cdot 2\cos t = -\frac{2\operatorname{sen} t}{r\cos t}.
E
\frac{1}{x}\cdot 4\operatorname{sen} t=\frac{4\operatorname{sen} t}{2r\cos t}=\frac{2\operatorname{sen} t}{r\cos t}.
Somando os dois termos dentro do parêntese obtemos zero. Portanto
\frac{\partial u}{\partial r}=e^{y/x}\cdot 0=0.
Esse resultado faz sentido: a razão y/x fica independente de r (veremos isso direto na substituição).

Passo 6

Agora aplique a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial t}:
\frac{\partial u}{\partial t}=u_x\frac{\partial x}{\partial t}+u_y\frac{\partial y}{\partial t} = e^{y/x}\!\left(-\frac{y}{x^2}\cdot(-2r\operatorname{sen} t)+\frac{1}{x}\cdot 4r\cos t\right).
Simplificamos termo a termo substituindo x e y. Já sabemos \dfrac{y}{x^2}=\dfrac{\operatorname{sen} t}{r\cos^2 t}. Então
-\frac{y}{x^2}\cdot(-2r\operatorname{sen} t)=\frac{y}{x^2}\cdot 2r\operatorname{sen} t = \frac{\operatorname{sen} t}{r\cos^2 t}\cdot 2r\operatorname{sen} t = \frac{2\operatorname{sen}^2 t}{\cos^2 t}=2\tan^2 t.
E
\frac{1}{x}\cdot 4r\cos t=\frac{4r\cos t}{2r\cos t}=2.
Somando,
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{y/x}\bigl(2\tan^2 t+2\bigr)=2e^{y/x}\bigl(\tan^2 t+1\bigr)=2e^{y/x}\operatorname{sec}^2 t.
Podemos ainda notar que y/x=\dfrac{4r\operatorname{sen} t}{2r\cos t}=2\tan t, então e^{y/x}=e^{2\tan t}. Logo
\frac{\partial u}{\partial t}=2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^2 t.

Passo 7

Agora método (b): substituir primeiro x e y em u. Calcule u(r,t):
\frac{y}{x}=\frac{4r\operatorname{sen} t}{2r\cos t}=2\tan t,
portanto
u(r,t)=e^{y/x}=e^{2\tan t}.
Isso já mostra intuitivamente por que \partial u/\partial r=0: u(r,t) não depende de r, só de t.

Passo 8

Derive u(r,t)=e^{2\tan t} diretamente:
\frac{\partial u}{\partial r}=0
porque não há r na expressão. Para \dfrac{\partial u}{\partial t}, use a regra da cadeia para uma função composta e^{2\tan t}:
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{2\tan t}\cdot\frac{d}{dt}\!(2\tan t)=e^{2\tan t}\cdot 2\operatorname{sec}^2 t=2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^2 t,
que coincide com o resultado do método da cadeia.

Passo 9

Mostre que as derivadas parciais mistas coincidem ( D_{12}=D_{21}). Calcule as mistas explicitamente:
  • Primeiro \dfrac{\partial^2 u}{\partial t\partial r}=\dfrac{\partial}{\partial t}\!\left(\dfrac{\partial u}{\partial r}\right). Como \dfrac{\partial u}{\partial r}=0 (identicamente), temos
\frac{\partial^2 u}{\partial t\partial r}=0.
  • Agora \dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right). Mas \dfrac{\partial u}{\partial t}=2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^2 t depende só de t, não de r, então sua derivada em relação a r é zero:
\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial t}=0.
Logo as derivadas mistas são iguais: D_{12}f=D_{21}f=0. Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (se as derivadas segundas contínuas, as mistas coincidem); aqui a função é suave e as mistas são contínuas.

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial r}=0
\dfrac{\partial u}{\partial t}=2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^2 t
\dfrac{\partial^2 u}{\partial t\partial r}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial t}=0

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