Nos Exercícios de 15 a 22, ache o valor da derivada direcional no ponto P_{0} para a função dada na direção e sentido de \mathbf{U}.
g(x, y)=3 x^{3} y+4 y^{2}-x y ; \mathbf{U}=\cos \frac{1}{4} \pi \mathbf{i}+\operatorname{sen} \frac{1}{4} \pi \mathbf{j} ; P_{0}=(0,3)

Passo 1

O enunciado pede: achar a derivada direcional de g no ponto P_{0} na direção e sentido do vetor \mathbf{U}.
Dados fornecidos:
g(x,y)=3x^{3}y+4y^{2}-xy,
\mathbf{U}=\cos\frac{\pi}{4}\,\mathbf{i}+\sin\frac{\pi}{4}\,\mathbf{j},
P_{0}=(0,3).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a derivada direcional de uma função de duas variáveis g(x,y) no ponto P_{0} na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o quanto g cresce quando nos movemos a partir de P_{0} naquela direção por unidade de comprimento. A fórmula prática é
D_{\mathbf{u}}g(P_{0})=\nabla g(P_{0})\cdot \mathbf{u},
onde \nabla g é o gradiente de g e \cdot é o produto escalar. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\displaystyle \nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right).
Então, para aplicar a fórmula precisamos (1) calcular \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y}, (2) avaliar essas parciais em P_{0} para obter \nabla g(P_{0}), (3) garantir que \mathbf{U} seja unitário (se não for, normalizar) e (4) calcular o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais passo a passo (aqui explico as regras usadas):
  • Para \frac{\partial g}{\partial x} tratamos y como constante. Usamos a regra da potência e que a derivada de x\mapsto x^{3} é 3x^{2}. Para o termo 3x^{3}y temos multiplicador 3 externo, então:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{3}y\big)=3\cdot(3x^{2})\cdot y=9x^{2}y.
O termo 4y^{2} não depende de x, então sua parcial é 0. Para -xy, com y constante, a derivada em relação a x é -y. Assim
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=9x^{2}y-y.

Passo 4

Agora \frac{\partial g}{\partial y}: tratamos x como constante. Para 3x^{3}y a derivada em relação a y é 3x^{3} (porque é linear em y). Para 4y^{2} usamos a regra da potência: derivada de y^{2} é 2y, multiplicada por 4 8y. Para -xy, com x constante, a derivada em y é -x. Logo
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=3x^{3}+8y-x.

Passo 5

Avaliar as parciais em P_{0}=(0,3). Substituímos x=0 e y=3 nas fórmulas:
\frac{\partial g}{\partial x}(0,3)=9\cdot 0^{2}\cdot 3 - 3 = -3,
\frac{\partial g}{\partial y}(0,3)=3\cdot 0^{3} + 8\cdot 3 - 0 = 24.
Portanto
\nabla g(0,3)=(-3,\;24).

Passo 6

Verificar se \mathbf{U} é unitário (importante: a fórmula exige vetor de módulo 1). Usamos \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\mathbf{U}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
O comprimento de \mathbf{U} é
\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \mathbf{U} já é unitário e podemos usá-lo diretamente.

Passo 7

Calcular o produto escalar \nabla g(0,3)\cdot \mathbf{U}. Fazemos componente a componente:
\nabla g(0,3)\cdot \mathbf{U}=(-3,24)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =(-3)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+24\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Fatorando \dfrac{\sqrt{2}}{2}:
=\left(-3+24\right)\dfrac{\sqrt{2}}{2}=21\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{21\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{21\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados