Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a derivada direcional de uma função de duas variáveis g(x,y) no ponto P_{0} na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o quanto g cresce quando nos movemos a partir de P_{0} naquela direção por unidade de comprimento. A fórmula prática é
Então, para aplicar a fórmula precisamos (1) calcular \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y}, (2) avaliar essas parciais em P_{0} para obter \nabla g(P_{0}), (3) garantir que \mathbf{U} seja unitário (se não for, normalizar) e (4) calcular o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais passo a passo (aqui explico as regras usadas):
Para \frac{\partial g}{\partial x} tratamos y como constante. Usamos a regra da potência e que a derivada de x\mapsto x^{3} é 3x^{2}. Para o termo 3x^{3}y temos multiplicador 3 externo, então:
O termo 4y^{2} não depende de x, então sua parcial é 0. Para -xy, com y constante, a derivada em relação a x é -y. Assim
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=9x^{2}y-y.
Passo 4
Agora \frac{\partial g}{\partial y}: tratamos x como constante. Para 3x^{3}y a derivada em relação a y é 3x^{3} (porque é linear em y). Para 4y^{2} usamos a regra da potência: derivada de y^{2} é 2y, multiplicada por 4 dá 8y. Para -xy, com x constante, a derivada em y é -x. Logo
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=3x^{3}+8y-x.
Passo 5
Avaliar as parciais em P_{0}=(0,3). Substituímos x=0 e y=3 nas fórmulas:
Verificar se \mathbf{U} é unitário (importante: a fórmula exige vetor de módulo 1). Usamos \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então