Passo 1
O enunciado fornece a equação
Vamos entender claramente o que precisamos encontrar: todos os pares
reais que satisfazem essa equação e descrever a curva definida por ela (ou seja, escrever
em função de
, identificar ramificações, interceptos e o que for relevante). Não resolvemos nada ainda, apenas listamos a informação dada: a relação entre
e
está expressa pela igualdade acima.
Passo 2
Observe que a equação tem quadrados em ambos os lados. Um fato algébrico simples e muito útil é: se dois termos quadrados são iguais, então os termos originais são iguais até o sinal, isto é, se
então
. Aplicando isso com
e
temos imediatamente
Essa é a maneira mais direta e segura de “tirar a raiz quadrada” sem perder o caso negativo.
Passo 3
Escrevendo explicitamente os dois casos obtidos em
obtemos duas expressões para
em função de
:
Outra forma de chegar ao mesmo resultado é fatorar a diferença de quadrados:
, o que leva aos mesmos dois fatores nulos e, portanto, aos mesmos dois casos acima.
Passo 4
Interpretação: a curva dada pela equação original é a união de duas curvas (dois ramos), cada uma dada por uma função explícita
em termos de
:
Cada ramo está definido para todo
, ou seja, o domínio em
é todo
. A curva é simétrica em relação ao eixo
(reflexão
), pois trocar
por
deixa
inalterado.
Passo 5
Vamos achar interceptos e pontos notáveis:
- Interceptos com a reta
: substituir em dá . Portanto os pontos e pertencem à curva. - Intercepto com a reta
: resolver dá . Portanto o único ponto com é . Observação: tanto o ramo quanto o ramo passam por , pois para ambos dão . Assim os dois ramos se encontram em .
Passo 6
Agora vamos calcular a derivada implícita
para entender o tipo de tangente na curva. Diferenciando ambos os lados de
em relação a
(aplicando regra da cadeia do lado esquerdo) obtemos
Expliquei cada termo: o
vem da derivada de
como
vezes a derivada interna; a derivada interna
é
pela regra da cadeia (porque
depende de
). Do lado direito a derivada de
é
. Agora simplificamos dividindo por
:
Isolando
:
válida quando o denominador
é diferente de zero (isto é, quando
e
).
Passo 7
Podemos obter uma expressão mais simples para a inclinação ao andar em cada ramo explicitando
por
. Substituindo
na expressão da derivada, e supondo
e
, temos
Assim:
- Para o ramo
: . - Para o ramo
: .
Observações sobre pontos especiais:
- Em
(pontos ) a fórmula explode (diverge), o que significa que a tangente é vertical nesses pontos (é mais fácil ver isso diferenciando em função de : para o ramo , que vale em ; assim — tangente vertical). - Em
(ponto onde os ramos se encontram) temos , e a derivação implícita direta deu divisão por zero; porém podemos derivar cada ramo explicitamente como função : para há em , então naquele ramo; para temos em , então naquele ramo. Ou seja, os dois ramos cruzam em com tangentes diferentes (incidência de duas retas distintas), não é um ponto de tangente única.
Passo 8
Resumo interpretativo (como aplicar isso numa prova): sempre que der uma igualdade de quadrados como
, lembre-se que isto equivale a
. Isso gera geralmente dois ramos. Para estudar tangentes use diferenciação implícita com cuidado: se ao final aparecer divisão por zero, examine os ramos explicitamente (expresse
em função de
ou vice-versa) para encontrar as tangentes nos pontos singulares.
Resposta
Nos ramos: