\left(1+y^{3}\right)^{2}=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\left(1+y^{3}\right)^{2}=x^{2}.
Vamos entender claramente o que precisamos encontrar: todos os pares (x,y) reais que satisfazem essa equação e descrever a curva definida por ela (ou seja, escrever x em função de y, identificar ramificações, interceptos e o que for relevante). Não resolvemos nada ainda, apenas listamos a informação dada: a relação entre x e y está expressa pela igualdade acima.

Passo 2

Observe que a equação tem quadrados em ambos os lados. Um fato algébrico simples e muito útil é: se dois termos quadrados são iguais, então os termos originais são iguais até o sinal, isto é, se A^{2}=B^{2} então A=\pm B. Aplicando isso com A=1+y^{3} e B=x temos imediatamente
1+y^{3}=\pm x.
Essa é a maneira mais direta e segura de “tirar a raiz quadrada” sem perder o caso negativo.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os dois casos obtidos em 1+y^{3}=\pm x obtemos duas expressões para x em função de y:
\text{caso 1:}\quad x=1+y^{3},
\text{caso 2:}\quad x=-1-y^{3}.
Outra forma de chegar ao mesmo resultado é fatorar a diferença de quadrados: (1+y^{3})^{2}-x^{2}=((1+y^{3})-x)((1+y^{3})+x)=0, o que leva aos mesmos dois fatores nulos e, portanto, aos mesmos dois casos acima.

Passo 4

Interpretação: a curva dada pela equação original é a união de duas curvas (dois ramos), cada uma dada por uma função explícita x em termos de y:
x(y)=1+y^{3}\quad\text{e}\quad x(y)=-1-y^{3}.
Cada ramo está definido para todo y\in\mathbb{R}, ou seja, o domínio em y é todo \mathbb{R}. A curva é simétrica em relação ao eixo y (reflexão x\mapsto -x), pois trocar x por -x deixa x^{2} inalterado.

Passo 5

Vamos achar interceptos e pontos notáveis:
  • Interceptos com a reta y=0: substituir y=0 em x=\pm(1+y^{3}) x=\pm 1. Portanto os pontos (1,0) e (-1,0) pertencem à curva.
  • Intercepto com a reta x=0: resolver 0=\pm(1+y^{3}) 1+y^{3}=0\Rightarrow y^{3}=-1\Rightarrow y=-1. Portanto o único ponto com x=0 é (0,-1). Observação: tanto o ramo x=1+y^{3} quanto o ramo x=-1-y^{3} passam por (0,-1), pois para y=-1 ambos dão x=0. Assim os dois ramos se encontram em (0,-1).

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada implícita \dfrac{dy}{dx} para entender o tipo de tangente na curva. Diferenciando ambos os lados de
(1+y^{3})^{2}=x^{2}
em relação a x (aplicando regra da cadeia do lado esquerdo) obtemos
2(1+y^{3})\cdot 3y^{2}\cdot \frac{dy}{dx}=2x.
Expliquei cada termo: o 2(1+y^{3}) vem da derivada de (1+y^{3})^{2} como 2\cdot(1+y^{3}) vezes a derivada interna; a derivada interna \dfrac{d}{dx}(1+y^{3}) é 3y^{2}\dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia (porque y depende de x). Do lado direito a derivada de x^{2} é 2x. Agora simplificamos dividindo por 2:
(1+y^{3})\cdot 3y^{2}\cdot \frac{dy}{dx}=x.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3y^{2}(1+y^{3})},
válida quando o denominador 3y^{2}(1+y^{3}) é diferente de zero (isto é, quando y\neq 0 e 1+y^{3}\neq 0).

Passo 7

Podemos obter uma expressão mais simples para a inclinação ao andar em cada ramo explicitando x por y. Substituindo x=\pm(1+y^{3}) na expressão da derivada, e supondo y\neq 0 e 1+y^{3}\neq 0, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{\pm(1+y^{3})}{3y^{2}(1+y^{3})}=\pm\frac{1}{3y^{2}}.
Assim:
  • Para o ramo x=1+y^{3}: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3y^{2}}.
  • Para o ramo x=-1-y^{3}: \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3y^{2}}.
Observações sobre pontos especiais:
  • Em y=0 (pontos (\pm1,0)) a fórmula \pm 1/(3y^{2}) explode (diverge), o que significa que a tangente é vertical nesses pontos (é mais fácil ver isso diferenciando x em função de y: dx/dy=3y^{2} para o ramo x=1+y^{3}, que vale 0 em y=0; assim dy/dx=\infty — tangente vertical).
  • Em y=-1 (ponto (0,-1) onde os ramos se encontram) temos 1+y^{3}=0, e a derivação implícita direta deu divisão por zero; porém podemos derivar cada ramo explicitamente como função x(y): para x=1+y^{3} dx/dy=3y^{2}=3 em y=-1, então dy/dx=1/3 naquele ramo; para x=-1-y^{3} temos dx/dy=-3y^{2}=-3 em y=-1, então dy/dx=-1/3 naquele ramo. Ou seja, os dois ramos cruzam em (0,-1) com tangentes diferentes (incidência de duas retas distintas), não é um ponto de tangente única.

Passo 8

Resumo interpretativo (como aplicar isso numa prova): sempre que der uma igualdade de quadrados como (\text{algo})^{2}=x^{2}, lembre-se que isto equivale a \text{algo}=\pm x. Isso gera geralmente dois ramos. Para estudar tangentes use diferenciação implícita com cuidado: se ao final aparecer divisão por zero, examine os ramos explicitamente (expresse x em função de y ou vice-versa) para encontrar as tangentes nos pontos singulares.

Resposta

x=\pm\bigl(1+y^{3}\bigr)
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{3y^{2}(1+y^{3})} (para y\neq 0 e 1+y^{3}\neq 0)
Nos ramos: \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^{2}} para x=1+y^{3} e \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{3y^{2}} para x=-1-y^{3}.

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