Verifique se a função dada é solução para as equaçōes diferenciais apresentadas. ( \mathrm{C}_{1} e C2, são constantes.)
\frac{d y}{d t}+20 y=24 ; y=\frac{4}{3}-\frac{4}{3} e^{-20}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
\frac{dy}{dt}+20y=24
e a função proposta
y=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20}
Observação importante: a expressão proposta apresenta e^{-20} sem t. Isso pode significar duas coisas: (A) o autor esqueceu de escrever o argumento t e a função correta seria y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}e^{-20t}; ou (B) a função é realmente uma constante (porque e^{-20} é apenas um número). Vou verificar ambos os casos.

Passo 2

Vamos primeiro obter a solução geral da equação diferencial para termos referência. A equação é linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dt}+20y=24.
Método (integração por fator integrante): o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 20\,dt}=e^{20t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{20t}\frac{dy}{dt}+20e^{20t}y=\frac{d}{dt}\bigl(y e^{20t}\bigr)=24e^{20t}.
Integrando ambos os lados em relação a t:
y e^{20t}=\int 24e^{20t}\,dt = 24\cdot\frac{1}{20}e^{20t}+C=\frac{6}{5}e^{20t}+C,
onde C é constante de integração. Dividindo por e^{20t} obtemos a solução geral:
y(t)=\frac{6}{5}+C e^{-20t}.
Aqui \frac{6}{5} é a solução particular (estado estacionário) e C e^{-20t} é a solução da homogênea. Qualquer solução deve ter essa forma para algum C.

Passo 3

Agora comparo a forma geral com a função proposta sob a interpretação (A): supondo que a função correta é
y(t)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20t}.
A forma geral exige que o termo constante (quando t\to\infty) seja \dfrac{6}{5}. Na função proposta o termo constante é \dfrac{4}{3}. Como
\frac{4}{3}\neq\frac{6}{5},
a função proposta não tem a constante correta para ser solução da equação. Portanto, sob a interpretação (A) a função não é solução.

Passo 4

Para reforçar, faço a verificação por substituição direta no caso (A). Derivo a função proposta:
y(t)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20t}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=\!-\frac{4}{3}\cdot(-20)e^{-20t}=\frac{80}{3}e^{-20t}.
Agora calculo o lado esquerdo da equação diferencial:
\frac{dy}{dt}+20y=\frac{80}{3}e^{-20t}+20\!\left(\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20t}\right).
Faço as contas passo a passo:
20\cdot\frac{4}{3}=\frac{80}{3},\qquad 20\cdot\left(-\frac{4}{3}e^{-20t}\right)=-\frac{80}{3}e^{-20t}.
Somando os termos:
\frac{80}{3}e^{-20t}+\frac{80}{3}-\frac{80}{3}e^{-20t}=\frac{80}{3}.
Portanto a substituição dá
\frac{dy}{dt}+20y=\frac{80}{3}\approx 26{,}66\ldots
que não é igual a 24. Logo, não é solução.

Passo 5

Agora verifico a interpretação (B): se a função for realmente constante
y(t)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20}\quad(\text{constante}),
então \dfrac{dy}{dt}=0 e
\frac{dy}{dt}+20y=20\left(\frac{4}{3}-\frac{4}{3}e^{-20}\right)=\frac{80}{3}\bigl(1-e^{-20}\bigr).
Esse valor não é 24 (nem será igual a 24 para a constante numérica e^{-20}). Portanto, sob (B) também não é solução.

Passo 6

Resumo do raciocínio didático: para checar se uma função é solução de uma ODE linear de primeira ordem temos duas formas simples:
  1. Comparar com a forma geral da solução (aqui y=\dfrac{6}{5}+C e^{-20t}). Se os termos constantes e o coeficiente do exponencial não puderem ser ajustados por um único C, a função não é solução.
  2. Substituição direta: calcular \dfrac{dy}{dt} e substituir em \dfrac{dy}{dt}+20y e ver se obtém 24. Fiz os dois procedimentos e ambos mostram incompatibilidade.

Resposta

A função proposta não é solução da equação diferencial.

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