Verifique se a função dada é solução para as equaçōes diferenciais apresentadas. (
e C2, são constantes.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
e a função proposta
Observação importante: a expressão proposta apresenta
sem
. Isso pode significar duas coisas: (A) o autor esqueceu de escrever o argumento
e a função correta seria
; ou (B) a função é realmente uma constante (porque
é apenas um número). Vou verificar ambos os casos.
Passo 2
Vamos primeiro obter a solução geral da equação diferencial para termos referência. A equação é linear de primeira ordem:
Método (integração por fator integrante): o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Dividindo por
obtemos a solução geral:
Aqui
é a solução particular (estado estacionário) e
é a solução da homogênea. Qualquer solução deve ter essa forma para algum
.
Passo 3
Agora comparo a forma geral com a função proposta sob a interpretação (A): supondo que a função correta é
A forma geral exige que o termo constante (quando
) seja
. Na função proposta o termo constante é
. Como
a função proposta não tem a constante correta para ser solução da equação. Portanto, sob a interpretação (A) a função não é solução.
Passo 4
Para reforçar, faço a verificação por substituição direta no caso (A). Derivo a função proposta:
Agora calculo o lado esquerdo da equação diferencial:
Faço as contas passo a passo:
Somando os termos:
Portanto a substituição dá
que não é igual a
. Logo, não é solução.
Passo 5
Agora verifico a interpretação (B): se a função for realmente constante
então
e
Esse valor não é
(nem será igual a
para a constante numérica
). Portanto, sob (B) também não é solução.
Passo 6
Resumo do raciocínio didático: para checar se uma função é solução de uma ODE linear de primeira ordem temos duas formas simples:
- Comparar com a forma geral da solução (aqui
). Se os termos constantes e o coeficiente do exponencial não puderem ser ajustados por um único , a função não é solução. - Substituição direta: calcular
e substituir em e ver se obtém . Fiz os dois procedimentos e ambos mostram incompatibilidade.
Resposta
A função proposta não é solução da equação diferencial.