Determine a série de Maclaurin de f(x)=x e^{x} e depois calcule \int_{0}^{x} t e^{t} d t como a gral de uma série de potências.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a série de Maclaurin de f(x)=x e^{x}.
  2. Calcular \displaystyle \int_{0}^{x} t e^{t}\,dt escrevendo o resultado como uma série de potências (ou seja, a integral expressa por uma soma de potências de x).
Informações dadas diretamente no enunciado: a função f(x)=x e^{x} e o intervalo de integração [0,x]. Não há outras informações externas fornecidas.

Passo 2

Vamos lembrar (e justificar) a série de Maclaurin da função exponencial, porque é a base de tudo aqui. A série de Maclaurin de uma função g é a série de Taylor centrada em 0:
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Para g(x)=e^{x} todos os derivados são g^{(n)}(x)=e^{x}, então em 0 temos g^{(n)}(0)=1 para todo n. Assim temos a conhecida expansão válida para todo x:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Explicação curta do porquê: os coeficientes vêm de g^{(n)}(0)/n! = 1/n!.

Passo 3

Agora multiplico essa série por x para obter a série de f(x)=x e^{x}. Multiplicando termo a termo:
x e^{x}=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}.
É conveniente fazer um deslocamento de índice para expressar em potências x^{n} com índice começando em 1. Se eu ponho m=n+1, obtemos
x e^{x}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{(m-1)!}.
Para ver alguns termos explícitos (útil na hora da prova):
x e^{x}=x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \frac{x^{4}}{3!}+\cdots.

Passo 4

Breve comentário sobre convergência (importante para poder integrar termo a termo): a série de e^{x} tem raio de convergência infinito, portanto a série de x e^{x} também converge para todo x. Isso nos autoriza a integrar a série termo a termo em qualquer intervalo finito.

Passo 5

Agora calculo a integral pedida usando a série. Parto da forma
x e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}.
Integrando termo a termo de t=0 até t=x:
\int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{n!}\right)dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{n+1}\,dt.
Cada integral simples dá
\int_{0}^{x}t^{n+1}\,dt=\frac{x^{n+2}}{n+2}.
Logo
\int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\frac{x^{n+2}}{n+2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+2)\,n!}.

Passo 6

Podemos reindexar essa série para ficar com potências x^{k} começando em k=2. Se k=n+2 então n=k-2 e n!= (k-2)!. Assim
\int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{k\,(k-2)!}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma mais direta e simples para anotar é
\int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+2)\,n!}.

Passo 7

Como verificação (útil para a prova): podemos também calcular a integral explicitamente por integração por partes para checar a soma. Tomando primitiva:
\int t e^{t}\,dt=(t-1)e^{t}+C,
pois derivando (t-1)e^{t} obtemos e^{t}+(t-1)e^{t}=t e^{t}. Avaliando de 0 a x
\int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=(x-1)e^{x}-(-1)e^{0}=(x-1)e^{x}+1.
Se expandirmos (x-1)e^{x}+1 em série usando e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}/n! obtemos exatamente a mesma série da Passo 6 (experimente expandir para ver o cancelamento dos termos constantes), confirmando que a série está correta.

Resposta

x e^{x}=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-1)!}.
\displaystyle \int_{0}^{x} t e^{t}\,dt=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+2)\,n!} \;=\; (x-1)e^{x}+1.

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