Determine a série de Maclaurin de
e depois calcule
como a gral de uma série de potências.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a série de Maclaurin de
. - Calcular
escrevendo o resultado como uma série de potências (ou seja, a integral expressa por uma soma de potências de ).
Informações dadas diretamente no enunciado: a função
e o intervalo de integração
. Não há outras informações externas fornecidas.
Passo 2
Vamos lembrar (e justificar) a série de Maclaurin da função exponencial, porque é a base de tudo aqui. A série de Maclaurin de uma função
é a série de Taylor centrada em
:
Para
todos os derivados são
, então em
temos
para todo
. Assim temos a conhecida expansão válida para todo
:
Explicação curta do porquê: os coeficientes vêm de
.
Passo 3
Agora multiplico essa série por
para obter a série de
. Multiplicando termo a termo:
É conveniente fazer um deslocamento de índice para expressar em potências
com índice começando em
. Se eu ponho
, obtemos
Para ver alguns termos explícitos (útil na hora da prova):
Passo 4
Breve comentário sobre convergência (importante para poder integrar termo a termo): a série de
tem raio de convergência infinito, portanto a série de
também converge para todo
. Isso nos autoriza a integrar a série termo a termo em qualquer intervalo finito.
Passo 5
Agora calculo a integral pedida usando a série. Parto da forma
Integrando termo a termo de
até
:
Cada integral simples dá
Logo
Passo 6
Podemos reindexar essa série para ficar com potências
começando em
. Se
então
e
. Assim
Ambas as formas são equivalentes; a forma mais direta e simples para anotar é
Passo 7
Como verificação (útil para a prova): podemos também calcular a integral explicitamente por integração por partes para checar a soma. Tomando primitiva:
pois derivando
obtemos
. Avaliando de
a
dá
Se expandirmos
em série usando
obtemos exatamente a mesma série da Passo 6 (experimente expandir para ver o cancelamento dos termos constantes), confirmando que a série está correta.