pontos) Considere a função
a) Determine os pontos críticos de f
b) Classifique os pontos críticos de f
a) Determine os pontos críticos de f
b) Classifique os pontos críticos de f
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar os pontos críticos de
. - (b) Classificar esses pontos críticos (se são mínimo local, máximo local ou ponto sela).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(todos os termos estão escritos). - Não há restrição de domínio indicada, então consideramos
.
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicação didática): o gradiente e pontos críticos.
- A derivada parcial em relação a
mede a variação de ao mudar mantendo fixo; análogo para a derivada parcial em . - O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
onde
e
.
- Um ponto
é crítico se e somente se (ou se alguma derivada parcial não existir, o que não é o caso aqui).
Agora calculamos as derivadas parciais de.]
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (mostrar passo a passo):
- Derivando em relação a
Aqui usei a regra de potência:
, e constantes em
desaparecem.
- Derivando em relação a
, tratando como constante:
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
:
Resolvendo
:
Combinação das soluções dá quatro pontos críticos:
Passo 4
Agora a classificação (explicação didática do teste das segundas derivadas):
- Construímos a matriz Hessiana
das segundas derivadas:
- Para funções de duas variáveis, o teste usa o determinante
.
Regras de classificação no ponto crítico: - Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo (seria preciso outro método).]
Passo 5
Cálculo das segundas derivadas (passo a passo):
- A partir de
calculamos
- Como
não depende de , temos
- A partir de
calculamos
Portanto o determinante do Hessiano simplifica para
Passo 6
Avaliação do teste em cada ponto crítico (calculemos
,
e
ponto a ponto):
- Em
:
Logo
Portanto é um ponto de sela.
- Em
:
Logo
Como
, por consequência esse ponto é um máximo local.
- Em
:
Logo
Como
, esse ponto é um mínimo local.
- Em
:
Logo
Portanto é um ponto de sela.
Resposta
(a) Pontos críticos:
(b) Classificação:
— ponto de sela.
— máximo local.
— mínimo local.
— ponto de sela.