\left(2,6\right. pontos) Considere a função f(x, y)=2 x^{3}+y^{3}-12 x^{2}-4 y+8
a) Determine os pontos críticos de f
b) Classifique os pontos críticos de f

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{3}+y^{3}-12x^{2}-4y+8 e pede duas coisas:
  • (a) Determinar os pontos críticos de f.
  • (b) Classificar esses pontos críticos (se são mínimo local, máximo local ou ponto sela).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) (todos os termos estão escritos).
  • Não há restrição de domínio indicada, então consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicação didática): o gradiente e pontos críticos.
  • A derivada parcial em relação a x mede a variação de f ao mudar x mantendo y fixo; análogo para a derivada parcial em y.
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}f_x(x,y)\\[4pt] f_y(x,y)\end{pmatrix},
onde f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} e f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico se e somente se \nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} (ou se alguma derivada parcial não existir, o que não é o caso aqui).
    Agora calculamos as derivadas parciais de f.]

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (mostrar passo a passo):
  • Derivando em relação a x\), tratando \(y\) como constante: \[f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}+y^{3}-12x^{2}-4y+8\bigr) =6x^{2}-24x.
Aqui usei a regra de potência: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}, e constantes em y desaparecem.
  • Derivando em relação a y, tratando x como constante:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}+y^{3}-12x^{2}-4y+8\bigr) =3y^{2}-4.
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=0:
\begin{cases} f_x(x,y)=6x^{2}-24x=0,\\[4pt] f_y(x,y)=3y^{2}-4=0. \end{cases}
Resolvendo f_x=0\]: \[6x^{2}-24x=6x(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=4.\] Resolvendo \(f_y=0:
3y^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\tfrac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad y=\pm \tfrac{2}{\sqrt{3}}=\pm \tfrac{2\sqrt{3}}{3}.
Combinação das soluções dá quatro pontos críticos:
\bigl(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\quad \bigl(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\quad \bigl(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\quad \bigl(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr).]

Passo 4

Agora a classificação (explicação didática do teste das segundas derivadas):
  • Construímos a matriz Hessiana H das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
  • Para funções de duas variáveis, o teste usa o determinante D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
    Regras de classificação no ponto crítico (x_0,y_0):
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0: mínimo local.
  • Se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0: máximo local.
  • Se D(x_0,y_0)<0: ponto de sela.
  • Se D(x_0,y_0)=0: teste inconclusivo (seria preciso outro método).]

Passo 5

Cálculo das segundas derivadas (passo a passo):
  • A partir de f_x=6x^{2}-24x calculamos
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(6x^{2}-24x)=12x-24=12(x-2).
  • Como f_x não depende de y, temos
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=0.
  • A partir de f_y=3y^{2}-4 calculamos
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-4)=6y.
Portanto o determinante do Hessiano simplifica para
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\cdot f_{yy}(x,y)-0 = f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y).

Passo 6

Avaliação do teste em cada ponto crítico (calculemos f_{xx}, f_{yy} e D ponto a ponto):
  1. Em \bigl(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr):
f_{xx}(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=12(0)-24=-24, \qquad f_{yy}(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=6\cdot\tfrac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.
Logo
D(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=(-24)\cdot(4\sqrt{3})=-96\sqrt{3}<0.
Portanto é um ponto de sela.
  1. Em \bigl(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr):
f_{xx}(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=-24, \qquad f_{yy}(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=6\cdot\Bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr)=-4\sqrt{3}.
Logo
D(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=(-24)\cdot(-4\sqrt{3})=96\sqrt{3}>0.
Como f_{xx}(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=-24<0, por consequência esse ponto é um máximo local.
  1. Em \bigl(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr):
f_{xx}(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=12(4)-24=24, \qquad f_{yy}(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=4\sqrt{3}.
Logo
D(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=24\cdot 4\sqrt{3}=96\sqrt{3}>0.
Como f_{xx}(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=24>0, esse ponto é um mínimo local.
  1. Em \bigl(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr):
f_{xx}(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=24, \qquad f_{yy}(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=-4\sqrt{3}.
Logo
D(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3})=24\cdot(-4\sqrt{3})=-96\sqrt{3}<0.
Portanto é um ponto de sela.

Resposta

(a) Pontos críticos: \bigl(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\; \bigl(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\; \bigl(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr),\; \bigl(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr).
(b) Classificação:
\bigl(0,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr) — ponto de sela.
\bigl(0,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr) — máximo local.
\bigl(4,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr) — mínimo local.
\bigl(4,-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr) — ponto de sela.

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