Se
determine domínio, imagem, injetividade e, caso exista, uma expressão para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- determinar o domínio de
; - determinar a imagem (conjunto de valores que
assume); - verificar se
é injetora (ou seja, se valores distintos de dão valores distintos de ); - quando existir, encontrar uma expressão para a inversa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparece o valor absoluto
, então a função é naturalmente definida em duas expressões diferentes dependendo do sinal de . - O denominador é
; é preciso checar quando (se) ele se anula.
Passo 2
Entender a função em duas regiões (usar a definição do valor absoluto).
- Para
tem . Então
- Para
tem . Então
Essa reescrita é útil para analisar domínio, monotonicidade, limites e para achar a inversa.
Passo 3
Domínio: verificar quando o denominador é zero.
- Por definição
para todo , logo para todo . - Portanto o denominador nunca se anula e a função está definida para todo número real.
Conclusão:
Passo 4
Monotonicidade (para concluir sobre injetividade). Vou calcular a derivada em cada ramo e explicar o que significa.
- Lembrando: se
em um intervalo, é estritamente crescente ali (intuição: derivada positiva significa que a função sobe). - Para
usamos . Aplicando a regra do quociente:
Note que
para todo
; em particular para todo
temos
.
- Para
usamos . Novamente pela regra do quociente:
Aqui
para todo
; em particular para todo
temos
.
Como
tanto para
quanto para
, e a função é continua em
(pois
e os limites laterais coincidem com
), concluímos que
é estritamente crescente em toda a reta real.
Portanto
é injetora.
Passo 5
Imagem: estudar os valores que
atinge em cada ramo e os limites nas extremidades.
- Primeiro valores em
:
- Para
, usando : - É simples ver que
nesse ramo. -
, porque dividindo numerador e denominador por obtemos . - O valor
não é atingido por nenhum finito (denominador seria infinito no limite), então o ramo produz os valores em .
- É simples ver que
- Para
, usando : - Esse ramo produz valores negativos.
-
. Uma maneira rápida: para escrever e ver que quando . - O valor
também não é atingido por nenhum finito, então o ramo produz os valores em .
- Unindo os dois ramos, a imagem total é
.
Resumo da razão: função contínua, estritamente crescente, com
e
, e
não atinge
, logo imagem é o intervalo aberto entre eles.
Passo 6
Construir a inversa
. Como
é estritamente crescente e contínua de
sobre
, existe inversa bijetora
. Vamos resolver a equação
para
em função de
, de forma a obter uma expressão fechada.
Resolver por casos (mesmo raciocínio do Passo 2):
- Caso
. Então . Resolviendo: Se (para , e na imagem temos ), então Esse valor tem sentido para e dá , como esperado. - Caso
. Então . Resolviendo: Se (para , e na imagem temos ), então Esse valor tem sentido para e dá , como esperado.
Agora observar uma forma unificada elegante: para
pode-se escrever
Verificação rápida dos ramos:
- Se
, então e (caso ). - Se
, então e (caso ).
Portanto a expressão unificada está correta e sua domínio é exatamente
, que é a imagem de
.
Passo 7
Check rápido (sintético e para ganhar confiança):
- Tomar
. A fórmula dá . E . Consistente. - Tomar
. A fórmula dá . E . Consistente.
Força aí: dominio, imagem, injetividade e inversa prontas — agora dá pra decorar essa fórmula esperta
e aplicar na prova.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetividade:
é injetora (estritamente crescente em
)