Se
f(x)=\frac{x}{1+|x|}
determine domínio, imagem, injetividade e, caso exista, uma expressão para f^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{1+|x|}
e pede:
  • determinar o domínio de f;
  • determinar a imagem (conjunto de valores que f assume);
  • verificar se f é injetora (ou seja, se valores distintos de x dão valores distintos de f(x));
  • quando existir, encontrar uma expressão para a inversa f^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparece o valor absoluto |x|, então a função é naturalmente definida em duas expressões diferentes dependendo do sinal de x.
  • O denominador é 1+|x|; é preciso checar quando (se) ele se anula.

Passo 2

Entender a função em duas regiões (usar a definição do valor absoluto).
  • Para x\ge 0 tem |x|=x. Então
f(x)=\frac{x}{1+x},\qquad x\ge 0.
  • Para x<0 tem |x|=-x. Então
f(x)=\frac{x}{1-x},\qquad x<0.
Essa reescrita é útil para analisar domínio, monotonicidade, limites e para achar a inversa.

Passo 3

Domínio: verificar quando o denominador é zero.
  • Por definição |x|\ge 0 para todo x, logo 1+|x|\ge 1>0 para todo x.
  • Portanto o denominador nunca se anula e a função está definida para todo número real.
Conclusão:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 4

Monotonicidade (para concluir sobre injetividade). Vou calcular a derivada em cada ramo e explicar o que significa.
  • Lembrando: se f'(x)>0 em um intervalo, f é estritamente crescente ali (intuição: derivada positiva significa que a função sobe).
  • Para x>0 usamos f(x)=\dfrac{x}{1+x}. Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{(1+x)\cdot 1 - x\cdot 1}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}.
Note que (1+x)^2>0 para todo x>-1; em particular para todo x\ge0 temos f'(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}>0.
  • Para x<0 usamos f(x)=\dfrac{x}{1-x}. Novamente pela regra do quociente:
f'(x)=\frac{(1-x)\cdot 1 - x\cdot(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}.
Aqui (1-x)^2>0 para todo x\neq1; em particular para todo x<0 temos f'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}>0.
Como f'(x)>0 tanto para x<0 quanto para x>0, e a função é continua em x=0 (pois f(0)=0 e os limites laterais coincidem com 0), concluímos que f é estritamente crescente em toda a reta real.
Portanto f é injetora.

Passo 5

Imagem: estudar os valores que f atinge em cada ramo e os limites nas extremidades.
  • Primeiro valores em x=0:
f(0)=\frac{0}{1+0}=0.
  • Para x\ge 0, usando f(x)=\dfrac{x}{1+x}:
    • É simples ver que f(x)\ge 0 nesse ramo.
    • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{1+x}=1, porque dividindo numerador e denominador por x obtemos \dfrac{1}{1+1/x}\to 1.
    • O valor 1 não é atingido por nenhum x finito (denominador seria infinito no limite), então o ramo x\ge0 produz os valores em [0,1).
  • Para x<0, usando f(x)=\dfrac{x}{1-x}:
    • Esse ramo produz valores negativos.
    • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{1-x}=-1. Uma maneira rápida: para x<0 escrever x=-|x| e ver que \dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{|x|}{1+|x|}\to -1 quando |x|\to+\infty.
    • O valor -1 também não é atingido por nenhum x finito, então o ramo x<0 produz os valores em (-1,0).
  • Unindo os dois ramos, a imagem total é (-1,1).
Resumo da razão: função contínua, estritamente crescente, com \lim_{x\to -\infty}f(x)=-1 e \lim_{x\to+\infty}f(x)=1, e f não atinge \pm1, logo imagem é o intervalo aberto entre eles.

Passo 6

Construir a inversa f^{-1}. Como f é estritamente crescente e contínua de \mathbb{R} sobre (-1,1), existe inversa bijetora f^{-1}:(-1,1)\to\mathbb{R}. Vamos resolver a equação y=\dfrac{x}{1+|x|} para x em função de y, de forma a obter uma expressão fechada.
Resolver por casos (mesmo raciocínio do Passo 2):
  • Caso x\ge 0. Então y=\dfrac{x}{1+x}. Resolviendo: y(1+x)=x \quad\Rightarrow\quad y + yx = x \quad\Rightarrow\quad y = x(1-y).Se 1-y\neq 0 (para y\neq 1, e na imagem temos y<1), então x=\frac{y}{1-y}.Esse valor tem sentido para y\in[0,1) e dá x\ge0, como esperado.
  • Caso x<0. Então y=\dfrac{x}{1-x}. Resolviendo: y(1-x)=x \quad\Rightarrow\quad y - yx = x \quad\Rightarrow\quad y = x(1+y).Se 1+y\neq 0 (para y\neq -1, e na imagem temos y>-1), então x=\frac{y}{1+y}.Esse valor tem sentido para y\in(-1,0] e dá x<0, como esperado.
Agora observar uma forma unificada elegante: para y\in(-1,1) pode-se escrever
f^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}.
Verificação rápida dos ramos:
  • Se y\ge 0, então |y|=y e f^{-1}(y)=\dfrac{y}{1-y} (caso x\ge0).
  • Se y<0, então |y|=-y e f^{-1}(y)=\dfrac{y}{1+y} (caso x<0).
Portanto a expressão unificada está correta e sua domínio é exatamente y\in(-1,1), que é a imagem de f.

Passo 7

Check rápido (sintético e para ganhar confiança):
  • Tomar y=\tfrac12. A fórmula dá f^{-1}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{1/2}{1-1/2}=\dfrac{1/2}{1/2}=1. E f(1)=1/(1+1)=1/2. Consistente.
  • Tomar y=-\tfrac12. A fórmula dá f^{-1}\!\left(-\tfrac12\right)=\dfrac{-1/2}{1-1/2}=\dfrac{-1/2}{1/2}=-1. E f(-1)=-1/(1+1)= -1/2. Consistente.
Força aí: dominio, imagem, injetividade e inversa prontas — agora dá pra decorar essa fórmula esperta f^{-1}(y)=\dfrac{y}{1-|y|} e aplicar na prova.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-1,1)
Injetividade: f é injetora (estritamente crescente em \mathbb{R})
f^{-1}: \displaystyle f^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|},\quad y\in(-1,1)

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