(2,4 pontos)Considere a função f(x, y)=4+\sqrt{9-x^{2}}+2 y^{2} e a equação
() x^{3}-2 y^{3}-2 x=3 y+5 x y
a) Determine o plano tangente ao gráfico de f associado ao ponto \mathrm{P}(2,1)
b) Determine a derivada implícita \frac{d y}{d x} definida a partir da equação (
)
c) Partindo do ponto P, indique a direção de maior crescimento de f? Se a partir de P , for tomada uma variação de 1,25 em \times \mathrm{e}-0,45 em y, estima a variação total da função.

Passo 1

O enunciado dá a função e a equação e pede três coisas. Informações e perguntas (tudo pego do enunciado):
  • Função: f(x,y)=4+\sqrt{9-x^{2}}+2y^{2}.
  • Equação implícita: (*)\\ \;x^{3}-2y^{3}-2x=3y+5xy.
  • Ponto considerado: P=(2,1).
    As perguntas:
    (a) Determine o plano tangente ao gráfico de f associado ao ponto P(2,1).
    (b) Determine a derivada implícita \dfrac{dy}{dx} definida a partir da equação (*).
    (c) Partindo de P: (i) indique a direção de maior crescimento de f; (ii) se a partir de P for tomada uma variação \Delta x=1,25 e \Delta y=-0,45, estime a variação total de f.

Passo 2

Plano tangente — conceito e fórmula: para uma função de duas variáveis f(x,y) o plano tangente ao gráfico em (a,b,f(a,b)) é a aproximação linear
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em (a,b). Aqui:
  • f_x(a,b) é a derivada de f em relação a x mantendo y constante (mostra inclinação do gráfico na direção x).
  • f_y(a,b) é a derivada de f em relação a y mantendo x constante (mostra inclinação do gráfico na direção y).
Calcular as parciais de f passo a passo:
A parte que depende de x é \sqrt{9-x^{2}}. Derivando:
\frac{d}{dx}\sqrt{9-x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{9-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Logo,
f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}},\qquad f_y(x,y)=\frac{d}{dy}(2y^{2})=4y.
Avaliar em P=(2,1):
\sqrt{9-2^{2}}=\sqrt{5},
f_x(2,1)=-\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad f_y(2,1)=4.
Também precisamos de f(2,1):
f(2,1)=4+\sqrt{5}+2\cdot 1^{2}=6+\sqrt{5}.
Agora montar o plano tangente usando a fórmula:
\text{Plano: }\; z = f(2,1)+f_x(2,1)(x-2)+f_y(2,1)(y-1).
Substituindo os valores:
z = 6+\sqrt{5} -\frac{2}{\sqrt{5}}(x-2)+4(y-1).
É possível deixar esse resultado nesta forma linear (já é o plano tangente).

Passo 3

Derivada implícita — ideia e procedimento: para uma equação G(x,y)=0 que define y implicitamente como função de x (pelo menos localmente), a derivada \dfrac{dy}{dx} obtém-se diferenciando ambos os lados em relação a x, tratando y como y(x) e aplicando a regra da cadeia quando surgir y. Uma fórmula prática é
\frac{dy}{dx}=-\frac{G_x(x,y)}{G_y(x,y)},
desde que G_y(x,y)\neq 0.
Aplicar à equação dada: reorganizo tudo para uma função G(x,y) igual a zero:
G(x,y)=x^{3}-2y^{3}-2x-3y-5xy.
Calcular as derivadas parciais de G:
G_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}-2y^{3}-2x-3y-5xy\big)=3x^{2}-2-5y,
G_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}-2y^{3}-2x-3y-5xy\big)=-6y^{2}-3-5x.
Portanto, a derivada implícita é
\frac{dy}{dx}=-\frac{G_x(x,y)}{G_y(x,y)}=-\frac{3x^{2}-2-5y}{-6y^{2}-3-5x}=\frac{3x^{2}-2-5y}{6y^{2}+3+5x}.
(Escrevi de forma a eliminar sinais redundantes na fração final.)

Passo 4

Direção de maior crescimento de f em P — conceito: a direção de máxima taxa de crescimento de f num ponto é dada pelo vetor gradiente \nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b)). A magnitude \|\nabla f\| é a taxa máxima; o vetor unitário \mathbf{u}=\nabla f/\|\nabla f\| aponta essa direção como unidade.
Calcular o gradiente em P:
\nabla f(2,1)=\big(f_x(2,1),\,f_y(2,1)\big)=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\,4\right).
Calcular a norma:
\|\nabla f(2,1)\|=\sqrt{\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}+4^{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}+16}=\sqrt{\frac{4+80}{5}}=\sqrt{\frac{84}{5}}.
Simplificando:
\sqrt{\frac{84}{5}}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}}.
Vetor unitário na direção de maior crescimento:
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(2,1)}{\|\nabla f(2,1)\|} =\left(\frac{-\tfrac{2}{\sqrt{5}}}{\tfrac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}}},\;\frac{4}{\tfrac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}}}\right) =\left(-\frac{1}{\sqrt{21}},\;2\sqrt{\frac{5}{21}}\right).
(Verificação rápida: \left(-\dfrac{1}{\sqrt{21}}\right)^{2}+\left(2\sqrt{\dfrac{5}{21}}\right)^{2}=1.)
Portanto a direção de maior crescimento em P é o vetor \nabla f(2,1) ou, como direção normalizada, \displaystyle \mathbf{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{21}},\,2\sqrt{\dfrac{5}{21}}\right).

Passo 5

Estimativa da variação total de f usando diferenciais — ideia: para pequenas variações \Delta x,\Delta y em torno de (a,b) a variação aproximada de f é
\Delta f \approx f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y,
isto é a aproximação linear (diferencial).
Usar f_x(2,1)=-\dfrac{2}{\sqrt{5}} e f_y(2,1)=4 e as variações dadas \Delta x=1,25 e \Delta y=-0,45:
\Delta f \approx -\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 1,25 + 4\cdot(-0,45).
Calcular passo a passo:
-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 1,25=-\frac{2{,}5}{\sqrt{5}}\approx -1{,}118034\ldots,
4\cdot(-0,45)=-1{,}8.
Somando:
\Delta f \approx -1{,}118034\ldots -1{,}8 \approx -2{,}918034\ldots
Arredondando a um número razoável de casas:
\Delta f \approx -2{,}918.
Interpretação: a função diminui aproximadamente 2{,}918 ao aplicar a variação indicada a partir de P.

Resposta

(a) z = 6+\sqrt{5} -\dfrac{2}{\sqrt{5}}(x-2)+4(y-1)
(b) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}-2-5y}{6y^{2}+3+5x}
(c) Direção de maior crescimento: \displaystyle \nabla f(2,1)=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,4\right). Vetor unitário nessa direção: \displaystyle \mathbf{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{21}},\,2\sqrt{\dfrac{5}{21}}\right).
Estimativa da variação para \Delta x=1,25,\\ \Delta y=-0,45: \displaystyle \Delta f\approx -2{,}918

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