(2,4 pontos)Considere a função f(x, y)=4+\sqrt{9-x^{2}}+2 y^{2} e a equação
() x^{3}-2 y^{3}-2 x=3 y+5 x y
a) Determine o plano tangente ao gráfico de f associado ao ponto \mathrm{P}(2,1)
b) Determine a derivada implícita \frac{d y}{d x} definida a partir da equação ()
c) Partindo do ponto P, indique a direção de maior crescimento de f? Se a partir de P , for tomada uma variação de 1,25 em \times \mathrm{e}-0,45 em y, estima a variação total da função.
Passo 1
O enunciado dá a função e a equação e pede três coisas. Informações e perguntas (tudo pego do enunciado):
Ponto considerado: P=(2,1).
As perguntas:
(a) Determine o plano tangente ao gráfico de f associado ao ponto P(2,1).
(b) Determine a derivada implícita \dfrac{dy}{dx} definida a partir da equação (*).
(c) Partindo de P: (i) indique a direção de maior crescimento de f; (ii) se a partir de P for tomada uma variação \Delta x=1,25 e \Delta y=-0,45, estime a variação total de f.
Passo 2
Plano tangente — conceito e fórmula: para uma função de duas variáveis f(x,y) o plano tangente ao gráfico em (a,b,f(a,b)) é a aproximação linear
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em (a,b). Aqui:
f_x(a,b) é a derivada de f em relação a x mantendo y constante (mostra inclinação do gráfico na direção x).
f_y(a,b) é a derivada de f em relação a y mantendo x constante (mostra inclinação do gráfico na direção y).
Calcular as parciais de f passo a passo:
A parte que depende de x é \sqrt{9-x^{2}}. Derivando:
\text{Plano: }\; z = f(2,1)+f_x(2,1)(x-2)+f_y(2,1)(y-1).
Substituindo os valores:
z = 6+\sqrt{5} -\frac{2}{\sqrt{5}}(x-2)+4(y-1).
É possível deixar esse resultado nesta forma linear (já é o plano tangente).
Passo 3
Derivada implícita — ideia e procedimento: para uma equação G(x,y)=0 que define y implicitamente como função de x (pelo menos localmente), a derivada \dfrac{dy}{dx} obtém-se diferenciando ambos os lados em relação a x, tratando y como y(x) e aplicando a regra da cadeia quando surgir y. Uma fórmula prática é
\frac{dy}{dx}=-\frac{G_x(x,y)}{G_y(x,y)},
desde que G_y(x,y)\neq 0.
Aplicar à equação dada: reorganizo tudo para uma função G(x,y) igual a zero:
(Escrevi de forma a eliminar sinais redundantes na fração final.)
Passo 4
Direção de maior crescimento de f em P — conceito: a direção de máxima taxa de crescimento de f num ponto é dada pelo vetor gradiente \nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b)). A magnitude \|\nabla f\| é a taxa máxima; o vetor unitário \mathbf{u}=\nabla f/\|\nabla f\| aponta essa direção como unidade.
Portanto a direção de maior crescimento em P é o vetor \nabla f(2,1) ou, como direção normalizada, \displaystyle \mathbf{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{21}},\,2\sqrt{\dfrac{5}{21}}\right).
Passo 5
Estimativa da variação total de f usando diferenciais — ideia: para pequenas variações \Delta x,\Delta y em torno de (a,b) a variação aproximada de f é
\Delta f \approx f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y,
isto é a aproximação linear (diferencial).
Usar f_x(2,1)=-\dfrac{2}{\sqrt{5}} e f_y(2,1)=4 e as variações dadas \Delta x=1,25 e \Delta y=-0,45:
\Delta f \approx -\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 1,25 + 4\cdot(-0,45).