\left\{\begin{aligned} \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+6 \mathrm{z} & =11 \\\\ 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z} & =9 \\\\ 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+2 \mathrm{z} & =7\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema que temos é
\left\{ \begin{aligned} \mathrm{x}+4\mathrm{y}+6\mathrm{z} &= 11,\\[4pt] 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+4\mathrm{z} &= 9,\\[4pt] 3\mathrm{x}+2\mathrm{y}+2\mathrm{z} &= 7. \end{aligned} \right.
O que o enunciado pede é encontrar os valores de \mathrm{x}, \mathrm{y} e \mathrm{z} que satisfazem as três equações simultaneamente. As informações relevantes que temos são os coeficientes das incógnitas em cada equação e os termos constantes à direita: 11, 9 e 7.]

Passo 2

Vamos organizar o sistema numa forma fácil de manipular: a matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das incógnitas e os termos constantes numa única tabela. Escrevendo em forma de matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 6 & 11\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 9\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 7 \end{array}\right).
Explicando rápido (para usar na prova): cada linha da matriz corresponde a uma equação; as colunas correspondem aos coeficientes de \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} e, por fim, a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. A ideia é usar operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra) para transformar essa matriz numa forma mais simples de resolver.]

Passo 3

Objetivo imediato: zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o coeficiente 1 da primeira linha na coluna de \mathrm{x}), deixando zeros na coluna de \mathrm{x} nas linhas 2 e 3. Aplicamos as operações
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\mathrm{R}_1, \qquad \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - 3\mathrm{R}_1.
Calculando cada entrada:
  • Para \mathrm{R}_2: 2-2\cdot1=0, 3-2\cdot4=3-8=-5, 4-2\cdot6=4-12=-8, 9-2\cdot11=9-22=-13.
  • Para \mathrm{R}_3: 3-3\cdot1=0, 2-3\cdot4=2-12=-10, 2-3\cdot6=2-18=-16, 7-3\cdot11=7-33=-26.
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 6 & 11\\[4pt] 0 & -5 & -8 & -13\\[4pt] 0 & -10 & -16 & -26 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (o número -5 na coluna de \mathrm{y}) para zerar o elemento abaixo dele na terceira linha. A operação escolhida é
\mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - 2\mathrm{R}_2.
Calculando:
  • Coluna de \mathrm{y}: -10 - 2\cdot(-5) = -10 +10 = 0.
  • Coluna de \mathrm{z}: -16 - 2\cdot(-8) = -16 +16 = 0.
  • Termo constante: -26 - 2\cdot(-13) = -26 +26 = 0.
A terceira linha fica toda zero, então a matriz é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 6 & 11\\[4pt] 0 & -5 & -8 & -13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Interpretação importante (muito útil na prova): a linha toda zero significa que uma das equações era combinação linear das outras duas; portanto o sistema tem menos equações independentes que incógnitas. Isso normalmente indica infinitas soluções (um grau de liberdade a mais). Em termos práticos: teremos uma incógnita livre (um parâmetro).]

Passo 5

Passamos agora a expressar as incógnitas em função de um parâmetro. Da segunda linha temos a equação
-5\mathrm{y} -8\mathrm{z} = -13.
Isolando \mathrm{y}:
-5\mathrm{y} = -13 +8\mathrm{z} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{y} = \dfrac{13 - 8\mathrm{z}}{5}.
Chamamos \mathrm{z} de parâmetro livre: seja \mathrm{z}=t com t\in\mathbb{R}. Então
\mathrm{y} = \dfrac{13 - 8t}{5}.
Agora usamos a primeira linha para encontrar \mathrm{x}. A primeira equação é
\mathrm{x} + 4\mathrm{y} + 6\mathrm{z} = 11.
Substituindo \mathrm{y} e \mathrm{z}:
\mathrm{x} = 11 - 4\mathrm{y} - 6\mathrm{z} = 11 - 4\cdot\frac{13-8t}{5} - 6t.
Fazendo as contas passo a passo:
4\cdot\frac{13-8t}{5}=\frac{52 - 32t}{5},
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\mathrm{x} = \frac{55}{5} - \frac{52 - 32t}{5} - \frac{30t}{5} = \frac{55 - 52 + 32t - 30t}{5} = \frac{3 + 2t}{5}.

Passo 6

Montando a solução geral com o parâmetro t:
\mathrm{x} = \frac{3 + 2t}{5},\qquad \mathrm{y} = \frac{13 - 8t}{5},\qquad \mathrm{z} = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Dica prática para a prova: você pode checar escolhendo valores simples para t. Por exemplo, t=0 \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{13}{5},0\right) e t=1 (1,1,1); ambos satisfazem as três equações (pode verificar substituindo nas equações originais).

Resposta

\displaystyle \left\{\bigl(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\bigr)=\Bigl(\frac{3+2t}{5},\frac{13-8t}{5},t\Bigr)\mid t\in\mathbb{R}\right\}

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