Verifique se os pontos A=(-1,-5,0), B=(2,1,3) e C=(1,0,4) são vértices de um triângulo.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A = (-1,-5,0), B = (2,1,3) e C = (1,0,4). A pergunta implícita é: esses três pontos são vértices de um triângulo?
Vou listar claramente o que é preciso verificar:
Os pontos devem ser distintos (ou seja, não podem coincidir).
Os três pontos não podem ser colineares (ou seja, não podem estar todos numa mesma reta).
Passo 2
Explicando a condição de não colinearidade de forma prática (aquela que costuma cair na prova):
Dado um ponto A e outros dois pontos B e C, formam-se os vetores
Se \overrightarrow{AB} for múltiplo escalar de \overrightarrow{AC} (ou seja, existir k tal que \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}), então os vetores são colineares e os pontos A,B,C estão na mesma reta. Caso contrário, não são colineares e formam um triângulo.
Outra maneira prática: calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Se esse produto for o vetor nulo (0,0,0), então são colineares; se for diferente de zero, não são colineares.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} por subtração componente a componente:
Como 1{,}5 \neq 1{,}2 \neq 0{,}75, não existe um mesmo k que satisfaça \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}. Logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro.
Passo 5
Cálculo do produto vetorial para confirmar (método padrão e robusto):
Usando a fórmula do determinante para produto vetorial,
Esse vetor é diferente do vetor nulo, ou seja, tem magnitude não nula.
Passo 6
Interpretação do resultado: como o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é diferente de (0,0,0), os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares. Além disso, os pontos A, B e C são claramente distintos (suas coordenadas são diferentes). Portanto os três pontos não estão na mesma reta e podem formar os vértices de um triângulo.
Como informação adicional útil (opcional na prova): a área do triângulo \triangle ABC é dada por metade da magnitude do produto vetorial: