Verifique se os pontos A=(-1,-5,0), B=(2,1,3) e C=(1,0,4) são vértices de um triângulo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A = (-1,-5,0), B = (2,1,3) e C = (1,0,4). A pergunta implícita é: esses três pontos são vértices de um triângulo?
Vou listar claramente o que é preciso verificar:
  • Os pontos devem ser distintos (ou seja, não podem coincidir).
  • Os três pontos não podem ser colineares (ou seja, não podem estar todos numa mesma reta).

Passo 2

Explicando a condição de não colinearidade de forma prática (aquela que costuma cair na prova):
Dado um ponto A e outros dois pontos B e C, formam-se os vetores
\overrightarrow{AB}=B-A\quad\text{e}\quad \overrightarrow{AC}=C-A.
Se \overrightarrow{AB} for múltiplo escalar de \overrightarrow{AC} (ou seja, existir k tal que \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}), então os vetores são colineares e os pontos A,B,C estão na mesma reta. Caso contrário, não são colineares e formam um triângulo.
Outra maneira prática: calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Se esse produto for o vetor nulo (0,0,0), então são colineares; se for diferente de zero, não são colineares.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} por subtração componente a componente:
\overrightarrow{AB} = B-A = (2-(-1),\;1-(-5),\;3-0) = (3,6,3),
\overrightarrow{AC} = C-A = (1-(-1),\;0-(-5),\;4-0) = (2,5,4).

Passo 4

Teste rápido por múltiplo escalar (verificação de razão das componentes):
Comparar razões das componentes:
\frac{3}{2}=1{,}5,\qquad \frac{6}{5}=1{,}2,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75.
Como 1{,}5 \neq 1{,}2 \neq 0{,}75, não existe um mesmo k que satisfaça \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}. Logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro.

Passo 5

Cálculo do produto vetorial para confirmar (método padrão e robusto):
Usando a fórmula do determinante para produto vetorial,
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 6 & 3 \\\\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix}
Expandindo:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(6\cdot4-3\cdot5)-\mathbf{j}(3\cdot4-3\cdot2)+\mathbf{k}(3\cdot5-6\cdot2).
Calculando cada componente:
\mathbf{i}:(24-15)=9,\qquad \mathbf{j}:(12-6)=6\\ \text{(com sinal negativo fica }-6\text{)},\qquad \mathbf{k}:(15-12)=3.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(9,-6,3).
Esse vetor é diferente do vetor nulo, ou seja, tem magnitude não nula.

Passo 6

Interpretação do resultado: como o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é diferente de (0,0,0), os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares. Além disso, os pontos A, B e C são claramente distintos (suas coordenadas são diferentes). Portanto os três pontos não estão na mesma reta e podem formar os vértices de um triângulo.
Como informação adicional útil (opcional na prova): a área do triângulo \triangle ABC é dada por metade da magnitude do produto vetorial:
\left\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\rVert = \sqrt{9^{2}+(-6)^{2}+3^{2}}=\sqrt{81+36+9}=\sqrt{126}=3\sqrt{14},
logo a área é
\text{Área}(\triangle ABC)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{14}=\tfrac{3}{2}\sqrt{14}.Á

Resposta

Sim, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo.

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