Ache o centro e o raio da circunferência dada pela equação
x^{2}+y^{2}-8 x+4 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
x^{2}+y^{2}-8x+4y+4=0
e pede duas coisas:
  • Encontrar o centro da circunferência.
  • Encontrar o raio da circunferência.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • Termos quadráticos: x^{2} e y^{2}.
  • Termos lineares: -8x e +4y.
  • Termo constante: +4.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática sobre o que vamos usar): para identificar centro e raio, convém escrever a equação na forma padrão de uma circunferência:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde (a,b) é o centro e r é o raio. Para isso usamos o procedimento chamado completar o quadrado para os termos em x e em y.
Breve explicação do completar o quadrado:
  • Para transformar uma expressão do tipo x^{2}+px em um quadrado perfeito, escrevemos
x^{2}+px = \left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p}{2}\right)^{2}.
  • Isso significa que podemos adicionar e subtrair \left(\frac{p}{2}\right)^{2} para reescrever a expressão como um quadrado menos uma constante. O mesmo vale para y.

Passo 3

Aplicando completar o quadrado ao termo em x. Aqui temos x^{2}-8x. Identificando p=-8, calculamos \dfrac{p}{2}=-4 e
x^{2}-8x = (x-4)^{2}-(-4)^{2} = (x-4)^{2}-16.

Passo 4

Aplicando completar o quadrado ao termo em y. Aqui temos y^{2}+4y. Identificando p=4, calculamos \dfrac{p}{2}=2 e
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-2^{2} = (y+2)^{2}-4.

Passo 5

Substituímos as duas identidades obtidas na equação original. Começando de
x^{2}+y^{2}-8x+4y+4=0,
substituindo:
\bigl((x-4)^{2}-16\bigr)+\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)+4=0.
Agora somamos as constantes:
(x-4)^{2}+(y+2)^{2}-16-4+4=0.
Simplificando os constantes -16-4+4=-16, obtemos
(x-4)^{2}+(y+2)^{2}-16=0.

Passo 6

Isolamos os quadrados para colocar na forma padrão:
(x-4)^{2}+(y+2)^{2}=16.
Comparando com (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, vemos que:
  • a=4,
  • b=-2,
  • r^{2}=16, logo r=4 (tomamos a raiz quadrada positiva porque raio é positivo).

Passo 7

Interpretação final: o centro é o ponto formado pelas constantes que aparecem dentro dos parênteses, trocando o sinal quando necessário (porque temos x-4 e y+2), e o raio é a raiz positiva do lado direito.

Resposta

Centro: (4,-2)
Raio: 4

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