Ache o centro e o raio da circunferência dada pela equação
Passo 1
O enunciado dá a equação da circunferência
e pede duas coisas:
- Encontrar o centro da circunferência.
- Encontrar o raio da circunferência.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
- Termos quadráticos:
e . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática sobre o que vamos usar): para identificar centro e raio, convém escrever a equação na forma padrão de uma circunferência:
onde
é o centro e
é o raio. Para isso usamos o procedimento chamado completar o quadrado para os termos em
e em
.
Breve explicação do completar o quadrado:
- Para transformar uma expressão do tipo
em um quadrado perfeito, escrevemos
- Isso significa que podemos adicionar e subtrair
para reescrever a expressão como um quadrado menos uma constante. O mesmo vale para .
Passo 3
Aplicando completar o quadrado ao termo em
. Aqui temos
. Identificando
, calculamos
e
Passo 4
Aplicando completar o quadrado ao termo em
. Aqui temos
. Identificando
, calculamos
e
Passo 5
Substituímos as duas identidades obtidas na equação original. Começando de
substituindo:
Agora somamos as constantes:
Simplificando os constantes
, obtemos
Passo 6
Isolamos os quadrados para colocar na forma padrão:
Comparando com
, vemos que:
-
, -
, -
, logo (tomamos a raiz quadrada positiva porque raio é positivo).
Passo 7
Interpretação final: o centro é o ponto formado pelas constantes que aparecem dentro dos parênteses, trocando o sinal quando necessário (porque temos
e
), e o raio é a raiz positiva do lado direito.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: