O enunciado nos dá o sistema linear abaixo e pede duas coisas: (1) resolver o sistema pelo método de Gauss; (2) classificá-lo (se tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções). As equações são:
As incógnitas são x, y, z. Vou usar apenas as informações acima e aplicar eliminação de Gauss passo a passo.]
Passo 2
Rápida explicação do método de Gauss (aula curtinha e sincera): a ideia é transformar o sistema em uma forma triangular (ou escalonada) usando operações elementares sobre as linhas do sistema, que não mudam o conjunto de soluções. As operações permitidas são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações preservam as soluções porque correspondem a combinações lineares equivalentes das equações. Vou trabalhar com a matriz aumentada do sistema e aplicar essas operações.
Passo 3
Montamos a matriz aumentada (A|b) do sistema. Cada linha representa uma equação; as colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente:
Agora vemos que a linha 2 e a linha 3 são idênticas. Para obter a forma escalonada, subtraímos a linha 2 da linha 3: \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \text{L}_2.
Cálculos:
0-0=0,\qquad -1-(-1)=0,\qquad 1-1=0,\qquad 1-1=0.
Portanto a linha 3 vira uma linha nula: [0\\\ 0\\\ 0\\ | \\\ 0].
Interpretação das linhas escalonadas como equações (voltar ao sistema, agora simplificado):
A linha 1 dá a equação \;x+y+z=2.
A linha 2 dá a equação \;-y+z=1.
A linha 3 é \;0=0 (equação redundante).
A presença de uma linha nula indica que o conjunto de equações é dependente e que provavelmente teremos infinitas soluções (a não ser que aparecesse uma linha nula com termo independente diferente de zero, o que seria inconsistente — aqui não acontece).
Como há 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes (posto =2), temos 3-2=1 grau de liberdade: uma variável livre.
Passo 7
Escolha da variável livre e resolução por substituição (back-substitution):
Escrever a solução de forma vetorial e interpretar a classificação:
Forma paramétrica:
(x,y,z)=(3-2t,\;t-1,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos também escrever como soma de um ponto particular mais múltiplos de um vetor:
(x,y,z)=(3,-1,0)+t(-2,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Classificação: o sistema é compatível e indeterminado — em português formal, “sistema possível e indeterminado” — porque há infinitas soluções parametrizadas por t.