Resolva o sistema pelo método de Gauss e classifique-o:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\\\ 2 x+y+3 z=5 \\\\ 3 x+2 y+4 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear abaixo e pede duas coisas: (1) resolver o sistema pelo método de Gauss; (2) classificá-lo (se tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções). As equações são:
\begin{cases} x+y+z=2,\\[4pt] 2x+y+3z=5,\\[4pt] 3x+2y+4z=7. \end{cases}
As incógnitas são x, y, z. Vou usar apenas as informações acima e aplicar eliminação de Gauss passo a passo.]

Passo 2

Rápida explicação do método de Gauss (aula curtinha e sincera): a ideia é transformar o sistema em uma forma triangular (ou escalonada) usando operações elementares sobre as linhas do sistema, que não mudam o conjunto de soluções. As operações permitidas são:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações preservam as soluções porque correspondem a combinações lineares equivalentes das equações. Vou trabalhar com a matriz aumentada do sistema e aplicar essas operações.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada (A|b) do sistema. Cada linha representa uma equação; as colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 5\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 7 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira etapa de eliminação: usar a primeira linha (pivô em x) para zerar as entradas abaixo dela na coluna de x.
  • Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1.
    Cálculo por entradas:
    \begin{aligned} &2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &1 - 2\cdot 1 = -1,\\\ &3 - 2\cdot 1 = 1,\\\ &5 - 2\cdot 2 = 1. \end{aligned}
    Logo a linha 2 passa a ser [0\\\ -1\\\ 1\\ | \\\ 1].
  • Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 3: \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 3\text{L}_1.
    Cálculo por entradas:
    \begin{aligned} &3 - 3\cdot 1 = 0,\\\ &2 - 3\cdot 1 = -1,\\\ &4 - 3\cdot 1 = 1,\\\ &7 - 3\cdot 2 = 1. \end{aligned}
    Logo a linha 3 também passa a ser [0\\\ -1\\\ 1\\ | \\\ 1].
Após essas operações a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vemos que a linha 2 e a linha 3 são idênticas. Para obter a forma escalonada, subtraímos a linha 2 da linha 3:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \text{L}_2.
Cálculos:
0-0=0,\qquad -1-(-1)=0,\qquad 1-1=0,\qquad 1-1=0.
Portanto a linha 3 vira uma linha nula: [0\\\ 0\\\ 0\\ | \\\ 0].
A matriz escalonada final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação das linhas escalonadas como equações (voltar ao sistema, agora simplificado):
  • A linha 1 dá a equação \;x+y+z=2.
  • A linha 2 dá a equação \;-y+z=1.
  • A linha 3 é \;0=0 (equação redundante).
A presença de uma linha nula indica que o conjunto de equações é dependente e que provavelmente teremos infinitas soluções (a não ser que aparecesse uma linha nula com termo independente diferente de zero, o que seria inconsistente — aqui não acontece).
Como há 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes (posto =2), temos 3-2=1 grau de liberdade: uma variável livre.

Passo 7

Escolha da variável livre e resolução por substituição (back-substitution):
Da segunda equação \;-y+z=1 temos
-y+z=1 \quad\Rightarrow\quad -y=1-z \quad\Rightarrow\quad y=z-1.
Tomamos z como parâmetro livre. Ou seja, seja \;z=t\in\mathbb{R}.
Substituindo y=z-1=t-1 na primeira equação x+y+z=2:
x+(t-1)+t=2.
Simplificando:
x+2t-1=2 \quad\Rightarrow\quad x=3-2t.
Logo as soluções são:
x=3-2t,\qquad y=t-1,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Escrever a solução de forma vetorial e interpretar a classificação:
Forma paramétrica:
(x,y,z)=(3-2t,\;t-1,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos também escrever como soma de um ponto particular mais múltiplos de um vetor:
(x,y,z)=(3,-1,0)+t(-2,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Classificação: o sistema é compatível e indeterminado — em português formal, “sistema possível e indeterminado” — porque há infinitas soluções parametrizadas por t.

Resposta

(x,y,z)=(3-2t,\;t-1,\;t),\\ t\in\mathbb{R}.
Sistema possível e indeterminado.

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