Informações relevantes que temos: são quatro equações lineares com três incógnitas x,y,z. Como há mais equações do que incógnitas, o sistema pode ser consistente e ter solução única (se as equações forem compatíveis) ou ser inconsistente; algumas equações podem ser linearmente dependentes (redundantes). O objetivo é aplicar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) até obter uma forma em que possamos ler a(s) solução(ões) e decidir a classificação.]
Passo 2
Rápida aula sobre o método de Gauss (passo a passo, sem pular etapas):
Representar o sistema pela matriz aumentada: coloca-se os coeficientes das incógnitas em colunas e a coluna da direita com os termos independentes.
Usar apenas operações elementares em linhas: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (triangular superior), com pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha) à direita dos pivôs das linhas acima. Depois, opcionalmente, reduzir para a forma reduzida por linhas (escalares 1 nos pivôs e zeros acima).
Quando a forma escalonada apresentar uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq 0, o sistema é incompatível (sem solução). Se não houver tal linha e o número de pivôs (posto da matriz dos coeficientes) for igual ao número de incógnitas n, o sistema tem solução única (compatível determinado). Se houver menos pivôs que incógnitas, haverá infinitas soluções (compatível indeterminado).
Vou aplicar exatamente essas ideias ao sistema dado, mostrando cada operação e as contas.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: x,y,z e termos independentes):
Preciso de um pivô na coluna z mais abaixo que as anteriores; a linha 4 já tem um 1 em z. Para ter a forma escalonada com pivôs descendo, troco R_3 com R_4 (trançar a linha com o pivô em z para cima):
Faço R_3 \leftrightarrow R_4. A matriz passa a ser
Agora temos pivôs nas colunas x (linha 1), y (linha 2) e z (linha 3). Isso já indica que o posto da matriz dos coeficientes é pelo menos 3. Vamos eliminar os coeficientes não nulos acima do pivô de z para simplificar (passo rumo à forma reduzida).]
Passo 7
Eliminar os elementos acima do pivô em z (coluna 3), usando R_3=[0\\\ 0\\\ 1\\ \vline\\\ 1]:
Em R_1 o coeficiente de z é 1. Faço R_1 \leftarrow R_1 - R_3. Cálculo:
Primeira coluna: 1-0=1.
Segunda coluna: 1-0=1.
Terceira: 1-1=0.
Termo independente: 3-1=2.
Assim R_1=[1\\\ 1\\\ 0\\ \vline\\\ 2].
Em R_2 o coeficiente de z é -1. Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_3. Cálculo: