Resolva o sistema pelo método de Gauss e classifique-o:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3 \\\\ 2 x+y+z=5 \\\\ 3 x+2 y+2 z=8 \\\ x+y+2 z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver o sistema de equações pelo método de Gauss.
  • Classificar o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
O sistema dado é
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3,\\[4pt] 2x+y+z=5,\\[4pt] 3x+2y+2z=8,\\[4pt] x+y+2z=4. \end{array}\right.
Informações relevantes que temos: são quatro equações lineares com três incógnitas x,y,z. Como há mais equações do que incógnitas, o sistema pode ser consistente e ter solução única (se as equações forem compatíveis) ou ser inconsistente; algumas equações podem ser linearmente dependentes (redundantes). O objetivo é aplicar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) até obter uma forma em que possamos ler a(s) solução(ões) e decidir a classificação.]

Passo 2

Rápida aula sobre o método de Gauss (passo a passo, sem pular etapas):
  • Representar o sistema pela matriz aumentada: coloca-se os coeficientes das incógnitas em colunas e a coluna da direita com os termos independentes.
  • Usar apenas operações elementares em linhas: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (triangular superior), com pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha) à direita dos pivôs das linhas acima. Depois, opcionalmente, reduzir para a forma reduzida por linhas (escalares 1 nos pivôs e zeros acima).
  • Quando a forma escalonada apresentar uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq 0, o sistema é incompatível (sem solução). Se não houver tal linha e o número de pivôs (posto da matriz dos coeficientes) for igual ao número de incógnitas n, o sistema tem solução única (compatível determinado). Se houver menos pivôs que incógnitas, haverá infinitas soluções (compatível indeterminado).
Vou aplicar exatamente essas ideias ao sistema dado, mostrando cada operação e as contas.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: x,y,z e termos independentes):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 2 & 1 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 3 & 2 & 2 & \vline & 8\\[4pt] 1 & 1 & 2 & \vline & 4 \end{pmatrix}
A primeira linha tem 1 como pivô em x. Vou usar essa linha para eliminar x nas linhas 2, 3 e 4.]

Passo 4

Eliminar x nas linhas abaixo da primeira:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
    • 2-2\cdot1=0,
    • 1-2\cdot1=-1,
    • 1-2\cdot1=-1,
    • 5-2\cdot3=-1.
      Assim R_2=[0\\\ -1\\\ -1\\ \vline\\\ -1].
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculo:
    • 3-3\cdot1=0,
    • 2-3\cdot1=-1,
    • 2-3\cdot1=-1,
    • 8-3\cdot3=-1.
      Assim R_3=[0\\\ -1\\\ -1\\ \vline\\\ -1].
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_1. Cálculo:
    • 1-1\cdot1=0,
    • 1-1\cdot1=0,
    • 2-1\cdot1=1,
    • 4-1\cdot3=1.
      Assim R_4=[0\\\ 0\\\ 1\\ \vline\\\ 1].
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & \vline & -1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & \vline & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}]

Passo 5

Observação: R_2 e R_3 ficaram iguais. Vou usar R_2 como pivô na coluna y (o elemento -1 é pivô) e eliminar y em R_3.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Cálculo:
  • [0,-1,-1\mid -1] - [0,-1,-1\mid -1] = [0,0,0\mid 0].
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & \vline & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}]

Passo 6

Preciso de um pivô na coluna z mais abaixo que as anteriores; a linha 4 já tem um 1 em z. Para ter a forma escalonada com pivôs descendo, troco R_3 com R_4 (trançar a linha com o pivô em z para cima):
Faço R_3 \leftrightarrow R_4. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & \vline & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}
Agora temos pivôs nas colunas x (linha 1), y (linha 2) e z (linha 3). Isso já indica que o posto da matriz dos coeficientes é pelo menos 3. Vamos eliminar os coeficientes não nulos acima do pivô de z para simplificar (passo rumo à forma reduzida).]

Passo 7

Eliminar os elementos acima do pivô em z (coluna 3), usando R_3=[0\\\ 0\\\ 1\\ \vline\\\ 1]:
  • Em R_1 o coeficiente de z é 1. Faço R_1 \leftarrow R_1 - R_3. Cálculo:
    • Primeira coluna: 1-0=1.
    • Segunda coluna: 1-0=1.
    • Terceira: 1-1=0.
    • Termo independente: 3-1=2.
      Assim R_1=[1\\\ 1\\\ 0\\ \vline\\\ 2].
  • Em R_2 o coeficiente de z é -1. Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_3. Cálculo:
    • 0+0=0,
    • -1+0=-1,
    • -1+1=0,
    • -1+1=0.
      Assim R_2=[0\\\ -1\\\ 0\\ \vline\\\ 0].
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vline & 2\\[4pt] 0 & -1 & 0 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}]

Passo 8

Simplificar a linha 2 para ter pivô 1 e eliminar o coeficiente de y em R_1:
  • Multiplico R_2 por -1: R_2 \leftarrow -R_2. Então R_2=[0\\\ 1\\\ 0\\ \vline\\\ 0].
  • Agora elimino o 1 em R_1 na coluna y: faço R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    • Cálculos: 1-0=1, 1-1=0, 0-0=0, 2-0=2.
      Assim R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\ \vline\\\ 2].
A matriz reduzida por linhas fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}]

Passo 9

Agora a matriz está na forma reduzida por linhas (cada pivô é 1 e é o único número não nulo em sua coluna). A leitura direta dá:
x=2,\qquad y=0,\qquad z=1.
Faço uma verificação rápida substituindo em cada equação original:
  • Primeira: 2+0+1=3 ok.
  • Segunda: 2\cdot2+0+1=5 porque 4+1=5 ok.
  • Terceira: 3\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=6+0+2=8 ok.
  • Quarta: 2+0+2\cdot1=4 ok.

Passo 10

Classificação do sistema com base no posto:
  • O posto da matriz dos coeficientes é 3 (há 3 pivôs nas colunas correspondentes a x,y,z).
  • O número de incógnitas é n=3.
  • Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq 0, portanto o sistema é consistente.
Como o posto é igual a n, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).

Resposta

\displaystyle x=2,\\ y=0,\\ z=1
Sistema compatível determinado.

Exercícios relacionados