\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{3 t} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 5y' + 6y = 3e^{3t}
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Para isso, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois um particular e por fim ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea associada é
y'' - 5y' + 6y = 0.
Montamos a equação característica
r^2 - 5r + 6 = 0
cuja solução é
r_1 = 2,\quad r_2 = 3.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}.

Passo 3

Como o termo forçante é 3e^{3t} e e^{3t} já aparece na homogênea, fazemos o palpite
y_p(t) = A\,t\,e^{3t}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A\,e^{3t}(1 + 3t),
y_p'' = A\,e^{3t}(6 + 9t).
Substituindo na EDO original:
y_p'' - 5y_p' + 6y_p = A e^{3t}(6+9t) -5A e^{3t}(1+3t) +6A t e^{3t} = A e^{3t}\bigl[1 + 0\cdot t\bigr] = A e^{3t}.
Para isso ser igual a 3e^{3t} precisamos de A=3. Assim
y_p(t) = 3\,t\,e^{3t}.

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t} + 3t e^{3t}.

Passo 6

Usamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0
C_1 + C_2 = 0.
Depois calculamos
y'(t) = 2C_1 e^{2t} + 3C_2 e^{3t} + \bigl(3e^{3t} + 9t e^{3t}\bigr),
logo em t=0, y'(0)=0 implica
2C_1 + 3C_2 + 3 = 0.
De C_1 + C_2 =0 temos C_2 = -C_1. Substituindo:
2C_1 + 3(-C_1) + 3 = -C_1 + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 3,\quad C_2 = -3.

Resposta

y(t) = 3e^{2t} \;-\; 3e^{3t} \;+\; 3t\,e^{3t}.

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