Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
e
. Para isso, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois um particular e por fim ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea associada é
Montamos a equação característica
cuja solução é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante é
e
já aparece na homogênea, fazemos o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO original:
Para isso ser igual a
precisamos de
. Assim
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é
Passo 6
Usamos as condições iniciais. Primeiro
dá
Depois calculamos
logo em
,
implica
De
temos
. Substituindo: