1. Se [I]_{B}^{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), determine [v]_{A}, sabendo que [v]_{B}=\left(\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}
e o vetor em coordenadas da base B
[v]_{B}=\begin{pmatrix}3 \\[4pt] -2 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A pergunta é: determine [v]_{A} (ou seja, as coordenadas do mesmo vetor v na base A), sabendo as informações acima.]

Passo 2

Quando o enunciado fornece [I]_{B}^{A} and [v]_{B}, a relação direta que usamos é
[v]_{A} = [I]_{B}^{A}\,[v]_{B}.
Explicando devagar: a matriz [I]_{B}^{A} é a matriz da aplicação identidade que transforma coordenadas na base B em coordenadas na base A. Suas colunas são as coordenadas, em A, dos vetores da base B. Assim, multiplicar [I]_{B}^{A} por [v]_{B}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T} equivale a formar a combinação linear
[v]_{A}=c_{1}\,\text{(coluna 1)}+c_{2}\,\text{(coluna 2)}+c_{3}\,\text{(coluna 3)}.
Vou usar essa interpretação (combinação de colunas) porque é intuitiva e fácil de calcular sem erro.

Passo 3

Identifico as colunas de [I]_{B}^{A}:
\text{coluna 1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna 2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna 3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
As coordenadas de [v]_{B} são c_{1}=3, c_{2}=-2, c_{3}=0. Então calculamos a combinação
[v]_{A}=3\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix} +(-2)\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} +0\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora faço as multiplicações escalares e a soma componente a componente:
3\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad (-2)\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad 0\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Somando essas três colunas:
[v]_{A}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Resposta

[v]_{A}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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