Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-2\right) y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
y''-4x y'+(4x^2-2)y=0,
e pede que a resolvamos por dois caminhos: (i) por séries de potências e (ii) por um método elementar qualquer, e que verifiquemos se as soluções coincidem. As informações relevantes que temos são apenas essa equação e que não há condições iniciais dadas (logo a solução geral com duas constantes arbitrárias é o que se espera). A estratégia começa assumindo uma solução em série centrada em x=0 e, paralelamente, procurar um método elementar que reduza a equação a algo mais simples.

Passo 2

Começamos com o método por séries de potências. Assumimos uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.

Passo 3

Agora substituímos essas séries na equação
y''-4x y'+(4x^2-2)y=0.
Cada termo torna-se:
y'':\quad \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n},
-4x y':\quad -4x\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n} = -4\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n},
4x^2 y:\quad 4\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} = 4\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n},
-2y:\quad -2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}.
Somando tudo obtemos a série (juntando termos de mesma potência x^n):
\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-4n a_n+4a_{n-2}-2a_n\Big]x^{n}=0,
onde, por convenção, tomamos a_{-1}=a_{-2}=0 para as potências negativas que surgiriam.

Passo 4

Como a série é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo n\ge 0,
(n+2)(n+1)a_{n+2}-4n a_n+4a_{n-2}-2a_n=0.
Reorganizando,
(n+2)(n+1)a_{n+2} = (4n+2)a_n - 4a_{n-2}.
Portanto a recorrência para a_{n+2} é
a_{n+2}=\frac{(4n+2)a_n-4a_{n-2}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 0,
com a_{-1}=a_{-2}=0 e a_0,a_1 livres (constantes de integração).

Passo 5

Vamos calcular os primeiros coeficientes para reconhecer um padrão. Tomando n=0:
2\cdot1\; a_2 = 2 a_0 \quad\Rightarrow\quad a_2=a_0.
Para n=1:
3\cdot2\; a_3 = 6 a_1 \quad\Rightarrow\quad a_3=a_1.
Para n=2:
4\cdot3\; a_4 = (8+2)a_2-4a_0 = 10 a_0 -4 a_0 =6 a_0 \quad\Rightarrow\quad a_4=\frac{6a_0}{12}=\frac{a_0}{2}.
Para n=3:
5\cdot4\; a_5 = (12+2)a_3-4a_1 =14 a_1 -4a_1 =10 a_1 \quad\Rightarrow\quad a_5=\frac{10a_1}{20}=\frac{a_1}{2}.
Para n=4:
6\cdot5\; a_6 = (16+2)a_4-4a_2 =18\frac{a_0}{2}-4a_0 =9a_0-4a_0=5a_0 \quad\Rightarrow\quad a_6=\frac{5a_0}{30}=\frac{a_0}{6}.
Observando esses valores, para os coeficientes de índices pares parece valer
a_{2k}=\frac{a_0}{k!},
e para os índices ímpares
a_{2k+1}=\frac{a_1}{k!},
para k=0,1,2,\dots. Podemos verificar rapidamente por indução usando a recorrência e vemos que esta fórmula satisfaz a relação obtida.

Passo 6

Substituindo essas expressões na série obtemos duas séries separadas (uma com termos pares e outra com termos ímpares):
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} = a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{k!}.
Repare que \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{2k}}{k!} é a série de potências de e^{x^2} e \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{2k+1}}{k!}=x\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{2k}}{k!}=x e^{x^2}. Portanto a solução geral obtida pelo método de séries é
y(x)=a_0 e^{x^2} + a_1 x e^{x^2} = e^{x^2}(a_0 + a_1 x),
onde a_0,a_1 são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora fazemos um método elementar alternativo (mais curto) e mostramos a ideia por trás da substituição que simplifica a equação. Observando os coeficientes -4x e 4x^2-2, é razoável tentar um fator exponencial com x^2. Fazemos a substituição
y(x)=e^{x^2} w(x).
Calculamos y' e y'' usando a regra do produto e a derivada de e^{x^2}:
y' = e^{x^2}(2x w + w'),
y'' = e^{x^2}\big(4x^2 w + 4x w' + 2w + w''\big).
Agora substituímos na equação original:
y''-4x y'+(4x^2-2)y = e^{x^2}\big(4x^2 w +4x w' +2w + w''\big) -4x e^{x^2}(2x w + w') + (4x^2-2)e^{x^2} w.
Agrupando fatores em e^{x^2} e simplificando, muitos termos se cancelam:
e^{x^2}\big(4x^2 w +4x w' +2w + w'' -8x^2 w -4x w' +4x^2 w -2w\big) = e^{x^2} w''.
Assim a equação se reduz a
e^{x^2} w''(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad w''(x)=0.
A equação w''=0 tem solução geral linear
w(x)=C_1 + C_2 x.
Voltando à variável y,
y(x)=e^{x^2} w(x) = e^{x^2}(C_1 + C_2 x),
que é exatamente a forma encontrada pelo método das séries (identificando C_1=a_0 e C_2=a_1).

Passo 8

Para verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação, podemos derivar y(x)=e^{x^2}(C_1+C_2 x) e substituir na equação; como já vimos no Passo 7, a substituição levou diretamente a w''=0, o que garante que todo y dessa forma satisfaz a EDO (o fator e^{x^2} nunca é zero). Portanto as duas técnicas (séries e substituição) geram a mesma solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x^{2}}+C_{2}x e^{x^{2}}

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