Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
e pede que a resolvamos por dois caminhos: (i) por séries de potências e (ii) por um método elementar qualquer, e que verifiquemos se as soluções coincidem. As informações relevantes que temos são apenas essa equação e que não há condições iniciais dadas (logo a solução geral com duas constantes arbitrárias é o que se espera). A estratégia começa assumindo uma solução em série centrada em
e, paralelamente, procurar um método elementar que reduza a equação a algo mais simples.
Passo 2
Começamos com o método por séries de potências. Assumimos uma solução da forma
onde os
são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias termo a termo:
Passo 3
Agora substituímos essas séries na equação
Cada termo torna-se:
Somando tudo obtemos a série (juntando termos de mesma potência
):
onde, por convenção, tomamos
para as potências negativas que surgiriam.
Passo 4
Como a série é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo
,
Reorganizando,
Portanto a recorrência para
é
com
e
livres (constantes de integração).
Passo 5
Vamos calcular os primeiros coeficientes para reconhecer um padrão. Tomando
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observando esses valores, para os coeficientes de índices pares parece valer
e para os índices ímpares
para
. Podemos verificar rapidamente por indução usando a recorrência e vemos que esta fórmula satisfaz a relação obtida.
Passo 6
Substituindo essas expressões na série obtemos duas séries separadas (uma com termos pares e outra com termos ímpares):
Repare que
é a série de potências de
e
. Portanto a solução geral obtida pelo método de séries é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora fazemos um método elementar alternativo (mais curto) e mostramos a ideia por trás da substituição que simplifica a equação. Observando os coeficientes
e
, é razoável tentar um fator exponencial com
. Fazemos a substituição
Calculamos
e
usando a regra do produto e a derivada de
:
Agora substituímos na equação original:
Agrupando fatores em
e simplificando, muitos termos se cancelam:
Assim a equação se reduz a
A equação
tem solução geral linear
Voltando à variável
,
que é exatamente a forma encontrada pelo método das séries (identificando
e
).
Passo 8
Para verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação, podemos derivar
e substituir na equação; como já vimos no Passo 7, a substituição levou diretamente a
, o que garante que todo
dessa forma satisfaz a EDO (o fator
nunca é zero). Portanto as duas técnicas (séries e substituição) geram a mesma solução geral.