- (Questão discursiva 3 - Enade 2014) Os principais efeitos visuais da computação gráfica vistos em uma tela são resultados de aplicações de transformações lineares. Translação, rotação, redimensionamento e alteração de cores são apenas alguns exemplos.
Considere que uma tela é cortada por dois eixos,
e
, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plana, existe a imagem de uma elipse com eixo maior de tamanho 4, paralelo ao eixo
, e cujos focos têm coordenadas
e ( 1,2 ). Considere
um operador definido em
.
De acordo com as informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando os cálculos utilizados na sua resolução.
a) Mostre que o ponto (
) pertence à elipse.
b) Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear
. Quais serão as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação de
?
c) Calcule os autovalores do operador linear
.
Considere que uma tela é cortada por dois eixos,
a) Mostre que o ponto (
b) Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear
c) Calcule os autovalores do operador linear
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informações dadas:
- Há uma elipse na tela com eixo maior de tamanho
e paralelo ao eixo . - Os focos da elipse têm coordenadas
e . - É definido um operador linear
por .
- Há uma elipse na tela com eixo maior de tamanho
- Perguntas pedidas:
a) Mostrar que o pontopertence à elipse.
b) Calcular as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação do operador linear.
c) Calcular os autovalores do operador linear.
Passo 2
Entendimento da definição de elipse que vamos usar (a fórmula importante que você precisa decorar para a prova).
- Por definição geométrica, para uma elipse com focos
e e semi-eixo maior , todo ponto da elipse satisfaz que a soma das distâncias de aos focos é constante e igual a . - No enunciado o "eixo maior de tamanho
" significa que o comprimento total do eixo maior é . Portanto - Conclusão imediata que usaremos: um ponto
pertence à elipse se e somente se
Passo 3
Aplicar a definição ao ponto dado para verificar a pertença (cálculo das distâncias).
- Os focos são
e . O ponto teste é . - Distância euclidiana entre dois pontos
e é - Calcule a distância de
a : - Calcule a distância de
a :
Passo 4
Somar as distâncias e concluir sobre pertença.
- Soma das distâncias:
- Como a soma é
e sabemos que , o ponto satisfaz a condição da elipse. Portanto pertence à elipse.
Passo 5
Preparação para aplicar o operador linear
aos focos (forma matricial e regra de aplicação).
- O operador linear
pode ser representado pela matriz na base canônica, onde e os coeficientes vêm das componentes de . Dado , a matriz é - Para encontrar a imagem de um ponto
pelos , basta multiplicar pelo vetor coluna .]
Passo 6
Calcular as imagens dos focos aplicando
coordenada a coordenada (contas passo a passo).
- Imagem de
: - Imagem de
: - Conclusão: após
, os focos vão para e .]
Passo 7
Cálculo dos autovalores de
(explicando o procedimento de autovalores).
- Autovalores
de uma matriz são as soluções da equação característica onde é a matriz identidade. - Aqui
. Escrevemos : - Calculamos o determinante:
Desenvolvendo passo a passo: e como temos mais (porque ), então - Encontramos raízes da equação quadrática
. Factorizando: - Portanto as soluções são
e .]
Resposta
a) O ponto
pertence à elipse.
b) Focos após
:
e
.
c) Autovalores de
:
e
.