1. (Questão discursiva 3 - Enade 2014) Os principais efeitos visuais da computação gráfica vistos em uma tela são resultados de aplicações de transformações lineares. Translação, rotação, redimensionamento e alteração de cores são apenas alguns exemplos.
    Considere que uma tela é cortada por dois eixos, x e y, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plana, existe a imagem de uma elipse com eixo maior de tamanho 4, paralelo ao eixo x, e cujos focos têm coordenadas (-1,2) e ( 1,2 ). Considere T um operador definido em \mathbb{R}^{2}.
De acordo com as informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando os cálculos utilizados na sua resolução.
a) Mostre que o ponto ( 0,2+\sqrt{3} ) pertence à elipse.
b) Suponha que, em cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear T(x, y)=(x+ y,-2 x+4 y). Quais serão as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação de T ?
c) Calcule os autovalores do operador linear T(x, y)=(x+y,-2 x+4 y).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informações dadas:
    • Há uma elipse na tela com eixo maior de tamanho 4 e paralelo ao eixo x.
    • Os focos da elipse têm coordenadas (-1,2) e (1,2).
    • É definido um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por T(x,y)=(x+y,\,-2x+4y).
  • Perguntas pedidas:
    a) Mostrar que o ponto (0,2+\sqrt{3}) pertence à elipse.
    b) Calcular as coordenadas dos focos da elipse após a aplicação do operador linear T.
    c) Calcular os autovalores do operador linear T.

Passo 2

Entendimento da definição de elipse que vamos usar (a fórmula importante que você precisa decorar para a prova).
  • Por definição geométrica, para uma elipse com focos F_1 e F_2 e semi-eixo maior a, todo ponto P da elipse satisfaz que a soma das distâncias de P aos focos é constante e igual a 2a.
  • No enunciado o "eixo maior de tamanho 4" significa que o comprimento total do eixo maior é 2a=4. Portanto a=2.
  • Conclusão imediata que usaremos: um ponto P pertence à elipse se e somente se \text{dist}(P,F_1)+\text{dist}(P,F_2)=2a=4.

Passo 3

Aplicar a definição ao ponto dado para verificar a pertença (cálculo das distâncias).
  • Os focos são F_1=(-1,2) e F_2=(1,2). O ponto teste é P=(0,2+\sqrt{3}).
  • Distância euclidiana entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \text{dist} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
  • Calcule a distância de P a F_1: \text{dist}(P,F_1)=\sqrt{(0-(-1))^2+\bigl(2+\sqrt{3}-2\bigr)^2} =\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} =\sqrt{1+3} =\sqrt{4}=2.
  • Calcule a distância de P a F_2: \text{dist}(P,F_2)=\sqrt{(0-1)^2+\bigl(2+\sqrt{3}-2\bigr)^2} =\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} =\sqrt{1+3} =2.

Passo 4

Somar as distâncias e concluir sobre pertença.
  • Soma das distâncias: \text{dist}(P,F_1)+\text{dist}(P,F_2)=2+2=4.
  • Como a soma é 4 e sabemos que 2a=4, o ponto satisfaz a condição da elipse. Portanto P=(0,2+\sqrt{3}) pertence à elipse.

Passo 5

Preparação para aplicar o operador linear T aos focos (forma matricial e regra de aplicação).
  • O operador linear T pode ser representado pela matriz A na base canônica, onde T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},e os coeficientes vêm das componentes de T. Dado T(x,y)=(x+y,\,-2x+4y), a matriz é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
  • Para encontrar a imagem de um ponto P=(x,y) pelos T, basta multiplicar A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular as imagens dos focos aplicando T coordenada a coordenada (contas passo a passo).
  • Imagem de F_1=(-1,2): T(-1,2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot(-1)+1\cdot 2\\[4pt]-2\cdot(-1)+4\cdot 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1+2\\[4pt]2+8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]10\end{pmatrix}.
  • Imagem de F_2=(1,2): T(1,2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot2\\[4pt]-2\cdot1+4\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2\\[4pt]-2+8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
  • Conclusão: após T, os focos vão para (1,10) e (3,6).]

Passo 7

Cálculo dos autovalores de T (explicando o procedimento de autovalores).
  • Autovalores \lambda de uma matriz A são as soluções da equação característica \det(A-\lambda I)=0,onde I é a matriz identidade.
  • Aqui A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]-2&4\end{pmatrix}. Escrevemos A-\lambda I: A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-2 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calculamos o determinante: \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(4-\lambda)-1\cdot(-2).Desenvolvendo passo a passo: (1-\lambda)(4-\lambda)=4-5\lambda+\lambda^2,e como temos mais +2 (porque -1\cdot(-2)=+2), então \det(A-\lambda I)=4-5\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-5\lambda+6.
  • Encontramos raízes da equação quadrática \lambda^2-5\lambda+6=0. Factorizando: \lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
  • Portanto as soluções são \lambda=2 e \lambda=3.]

Resposta

a) O ponto (0,2+\sqrt{3}) pertence à elipse.
b) Focos após T: (1,10) e (3,6).
c) Autovalores de T: \lambda=2 e \lambda=3.

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