f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x & \text { se } x \leqslant 1 \\\\ 1 & \text { se } x>1\end{array}\right. é contínua em 1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x & \text{se } x\leqslant 1,\\[4pt] 1 & \text{se } x>1, \end{cases}
e pergunta: a função é contínua em 1?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\leqslant 1 vale f(x)=2x.
  • Para x>1 vale f(x)=1.
  • O ponto onde precisamos testar a continuidade é x=1.
  • Pelo enunciado, o valor de f em 1 obedece à regra do primeiro ramo (pois 1\leqslant1), logo f(1)=2\cdot 1.]

Passo 2

O que significa "ser contínua em 1"? Vamos usar a definição precisa e intuitiva, bem mastigada:\n
  • Definição: f é contínua em a se e somente se existir \lim_{x\to a} f(x) e esse limite for igual a f(a). Em símbolos:
f \text{ contínua em } a \iff \left(\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe}\right)\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a).í
  • Para funções definidas por partes é útil verificar os limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) (pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita). O limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Se essas duas quantias existem e são iguais, esse é o valor do limite. Depois comparamos com f(a).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em 1: \lim_{x\to1^-} f(x).\n
Quando x aproxima-se de 1 pela esquerda (isto é, x<1 mas muito perto), usamos a expressão f(x)=2x. Para funções polinomiais/lineares, o limite quando x\to 1 é simplesmente a avaliação em 1. Assim:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} 2x = 2\cdot 1 = 2.
Explicação curta do porquê: a função x\mapsto 2x é contínua em todos os pontos, então não há surpresa em poder substituir x=1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em 1: \lim_{x\to1^+} f(x).\n
Quando x aproxima-se de 1 pela direita (isto é, x>1 mas muito perto), usamos a expressão f(x)=1, que é uma função constante. O limite de uma constante é a própria constante. Portanto:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 1 = 1.

Passo 5

Comparar os limites laterais e o valor da função em 1.\n
  • Encontramos \lim_{x\to1^-} f(x)=2.
  • Encontramos \lim_{x\to1^+} f(x)=1.
    Como 2\neq 1, os limites laterais não coincidem, logo o limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) NÃO existe. Pela definição de continuidade, se o limite não existe então f NÃO é contínua em 1.\n
    Além disso, recordando o valor de f em 1: f(1)=2. Mesmo que a comparação fosse necessária, veríamos que a direita dá 1\neq f(1), confirmando a descontinuidade. Esse tipo de descontinuidade, em que ambos os limites laterais existem mas são diferentes, chama-se descontinuidade do tipo salto (jump).

Resposta

Não. \lim_{x\to1^-}f(x)=2,\\ \lim_{x\to1^+}f(x)=1 e f(1)=2, portanto f não é contínua em 1.

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