Em uma rede CDMA/CD com taxa de dados de 10 Mbps , constatou-se que a distância máxima entre qualquer par de estações deve ser de 2.500 m para a correta operação do mecanismo de detecção de colisões. Qual deve ser a distância máxima se aumentarmos a taxa de dados para 100 Mbps ? E para 1 Gbps ? E para 10 Gbps ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Taxa de dados inicial: \,R_1=10\\ \text{Mbps}\,.
  • Distância máxima correspondente (entre qualquer par de estações): \,D_1=2{,}500\\ \mathrm{m}\,.
    O que se pede:
  • A distância máxima \,D quando a taxa de dados for \,R=100\\ \text{Mbps}\,.
  • A distância máxima \,D quando a taxa de dados for \,R=1\\ \text{Gbps}\,.
  • A distância máxima \,D quando a taxa de dados for \,R=10\\ \text{Gbps}\,.

Passo 2

Explicando a ideia física (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Quando usamos detecção de colisões (o mecanismo do tipo CSMA/CD), para que uma estação detecte que ocorreu uma colisão ela precisa ainda estar transmitindo quando o sinal da colisão, vindo da outra extremidade, voltar até ela.
  • Definimos algumas grandezas:
    • \,L = tamanho do quadro mínimo em bits (constante para a tecnologia considerada).
    • \,R = taxa de transmissão em bits por segundo.
    • \,T_{\text{tx}} = tempo de transmissão do quadro mínimo, dado por T_{\text{tx}}=\frac{L}{R}.Aqui \,T_{\text{tx}}\, é o tempo que a estação leva para enviar os L bits.
    • \,v = velocidade de propagação do sinal no meio (m/s), assumida constante entre os casos que comparamos.
    • \,t_{\text{prop}} = tempo de propagação de uma extremidade até a outra (one-way). Para uma distância entre as estações igual a \,D vale t_{\text{prop}}=\frac{D}{v}.
  • A condição para que a colisão seja detectável é que o tempo de transmissão do quadro mínimo seja pelo menos igual ao tempo de ida e volta da propagação: 2\,t_{\text{prop}}\le T_{\text{tx}}.Substituindo t_{\text{prop}} e T_{\text{tx}} obtemos 2\frac{D}{v}\le\frac{L}{R}.Isolando D, D\le \frac{v}{2}\cdot\frac{L}{R}.Ou seja, a distância máxima possível é D_{\max}=\frac{vL}{2R}.
  • Observe que, para um mesmo meio (mesmo v) e mesmo quadro mínimo (mesmo L), temos D_{\max} proporcional a 1/R. Assim, ao mudar a taxa de dados mantendo v e L fixos, a distância máxima escala como o inverso da taxa: D_2 = D_1\cdot\frac{R_1}{R_2}.Essa relação é útil porque no enunciado já foi dado um par (R_1,D_1), então não precisamos conhecer explicitamente v nem L para calcular as novas distâncias — só usamos a proporcionalidade.

Passo 3

Cálculo para \,R=100\\ \text{Mbps}.
  • Aplicando a relação de escala: D_{100}=D_1\cdot\frac{R_1}{100\\ \text{Mbps}}.Substituindo números (com \,R_1=10\\ \text{Mbps} e \,D_1=2{,}500\\ \mathrm{m}): D_{100}=2{,}500\cdot\frac{10}{100}\\ \mathrm{m}.Calculando: D_{100}=2{,}500\cdot 0{,}1 = 250\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo para \,R=1\\ \text{Gbps} (ou seja, \,R=1{,}000\\ \text{Mbps}).
  • Usando a mesma fórmula de escala: D_{1\text{Gbps}}=2{,}500\cdot\frac{10}{1{,}000}\\ \mathrm{m}.Calculando: D_{1\text{Gbps}}=2{,}500\cdot 0{,}01 = 25\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo para \,R=10\\ \text{Gbps} (ou seja, \,R=10{,}000\\ \text{Mbps}).
  • Novamente: D_{10\text{Gbps}}=2{,}500\cdot\frac{10}{10{,}000}\\ \mathrm{m}.Calculando: D_{10\text{Gbps}}=2{,}500\cdot 0{,}001 = 2{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Observações finais (didáticas e práticas):
  • As contas acima usam apenas a proporcionalidade entre D_{\max} e 1/R, que decorre da fórmula \,D_{\max}=\dfrac{vL}{2R}\, mantendo fixos v e L.
  • Na prática, ao subir muito a taxa de dados, o comprimento máximo suportado pelo mecanismo CSMA/CD fica tão pequeno que a técnica deixa de ser prática: por isso redes modernas em altas taxas usam enlaces com comutação (switches) e full‑duplex, onde CSMA/CD não é necessário. Também há mudanças em tamanho mínimo de quadro e em topologias que alteram a conta, mas para esta pergunta a escala direta é a resposta correta.
  • Força aí nos estudos — você já entendeu a ideia central: dobrar a taxa divide por dois a distância máxima, e assim por diante. Dá para aplicar isso rápido na prova.

Resposta

250\\ \mathrm{m}
25\\ \mathrm{m}
2{,}5\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados