\left.1^{\circ}\right)(2,5 pontos ) Considere uma placa de alumínio \left[\rho=2707 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{cp}=0,896 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right. e \left.\mathrm{k}=204 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], de espessura \mathrm{L}=3 \mathrm{~cm}, está inicialmente a uma temperatura uniforme \mathrm{Ti}=50^{\circ} \mathrm{C}. Repentinamente, ela é submetida a um fluxo unifome de calor \mathrm{q}= 7500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{em} uma de suas faces e é exposta a uma corrente de ar frio a \mathrm{T}_{\infty}=30^{\circ} \mathrm{C} na outra face. O coeficiente de transferência de calor entre a corrente de ar e a face da placa é \mathrm{h}=60 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
a) Calcule a temperatura de equilíbrio
b) Em quanto tempo a placa vai atingir 95 \% da temperatura de equilíbrio.

Passo 1

O problema trata de uma placa de alumínio de espessura L=0,03\\ \mathrm{m}, com propriedades \rho=2707\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=0{,}896\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}=896\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} e condutividade térmica k=204\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}. Inicialmente a placa está a T_i=50\\ ^\circ\mathrm{C}. A partir de t=0, uma face recebe fluxo de calor uniforme \dot q''=7500\\ \mathrm{W/m^2} e a outra face troca calor por convecção com ar a T_\infty=30\\ ^\circ\mathrm{C} e coeficiente h=60\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}. Vamos usar o modelo de capacitância (corpo de temperatura uniforme), pois a placa é fina e o número de Biot será pequeno.

Passo 2

Verificação do modelo lumped pelo número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k} =\frac{60\cdot0{,}03}{204} \approx0{,}0088<0{,}1.
Como \mathrm{Bi}<0{,}1, a temperatura pode ser considerada uniforme no corpo e então o balanço energético segue a lei de Newton com fluxo.

Passo 3

Equilíbrio de longo prazo: o fluxo fornecido à face quente é todo removido pela convecção na face fria, ou seja,
\dot q''=h\bigl(T_e-T_\infty\bigr).
Logo,
T_e =T_\infty+\frac{\dot q''}{h} =30+\frac{7500}{60} =30+125 =155\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

O tempo característico do sistema (constante de tempo \tau) no modelo lumped é
\tau =\frac{\rho\,c_p\,V}{h\,A} =\frac{\rho\,c_p\,L}{h} =\frac{2707\cdot896\cdot0{,}03}{60} \approx1213\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Tempo para atingir 95\% da resposta:
T(t)-T_\infty =\bigl(T_e-T_\infty\bigr)\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr),
queremos 1-e^{-t/\tau}=0{,}95, ou seja e^{-t/\tau}=0{,}05. Então
t =-\tau\ln(0{,}05) \approx1213\cdot\ln(20) \approx3633\\ \mathrm{s} \approx60{,}6\\ \mathrm{min}.

Resposta

(a) T_e=155\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) t_{95\%}\approx3633\\ \mathrm{s} (aprox. 60{,}6 minutos).

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