3^{\circ} ) ( \mathbf{2 , 5} pontos) Uma parede espessa de carvalho, inicialmente a uma temperatura uniforme de 30^{\circ} \mathrm{C}, é repentinamente exposta a gases de combustão a 700^{\circ} \mathrm{C}. Determine o tempo de exposição requerido para a superfície atingir sua temperatura de ignição de 400^{\circ} \mathrm{C}, quando o coeficiente de convecção entre a parede e o gás de combustão for 20 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Propriedades de carvalho: \rho=545 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{Ke} \mathrm{cp}=2385 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado trata de um processo transiente de condução num sólido espesso de carvalho, inicialmente à temperatura uniforme de \,30^\circ\mathrm C, cuja face externa x=0 é subitamente exposta a gases a \,700^\circ\mathrm C com coeficiente de convecção h=20\,\mathrm{W/m^2K}. Queremos determinar o tempo necessário para que a temperatura da superfície atinja \,400^\circ\mathrm C.
Conteúdo: condução transiente numa barra semi-infinita com condição de convecção na superfície. Vamos usar a solução analítica disponível em tabelas (Incropera & DeWitt) para temperatura na face x=0.

Passo 2

Calcular a difusividade térmica \alpha do carvalho. Para isso usamos
\alpha \;=\;\frac{k}{\rho\,c_p},
onde k=0{,}17\,\mathrm{W/(m\!\cdotK)}, \rho=545\,\mathrm{kg/m^3} e assumimos c_p=2385\,\mathrm{J/(kg\!\cdotK)}. Logo
\alpha =\frac{0,17}{545\cdot2385} \approx1{,}31\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Na barra semi-infinita, a solução para a temperatura da superfície T(0,t) é dada em forma adimensional por
\theta_s^* \;=\; \frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \;=\;\exp\bigl(m^2\bigr)\,\erfc(m),
onde
T_i=30^\circ\mathrm C,\quad T_\infty=700^\circ\mathrm C,\quad \theta_s^*=\frac{400-700}{30-700}=0{,}4478,
e o parâmetro adimensional
m=\frac{h\sqrt{\alpha\,t}}{k}.

Passo 4

Encontrar m satisfazendo
\exp(m^2)\,\erfc(m)=0{,}4478.
Fazendo tentativas ou consultando tabelas inversas, obtemos aproximadamente
m\approx0{,}945.

Passo 5

Relacionar m com o tempo t:
m=\frac{h\sqrt{\alpha\,t}}{k} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\alpha\,t}=\frac{k\,m}{h} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{\alpha}\Bigl(\frac{k\,m}{h}\Bigr)^2.
Substituindo os valores
t =\frac{1}{1{,}31\times10^{-7}} \Bigl(\frac{0{,}17\;\times0{,}945}{20}\Bigr)^2 \approx4{,}93\times10^2\;\mathrm s \approx8{,}2\;\mathrm{min}.

Resposta

O tempo de exposição necessário é aproximadamente 8{,}2 minutos.

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