\left.4^{\circ}\right)(2,5 pontos) Qual o significado físico da seguinte equação:
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t}
que é uma equação diferencial parcial unidimensional. O conteúdo aqui é a condução de calor em regime transiente, e vamos usar a conservação de energia junto com a Lei de Fourier para entender seu significado físico.

Passo 2

Pela Lei de Fourier, o fluxo de calor unidimensional é
q_x = -k\,\frac{\partial T}{\partial x},
onde k é a condutividade térmica. Aplicando conservação de energia num elemento de comprimento dx, a variação de energia interna ( \rho c\,dx) em \,dt deve igualar à diferença de fluxos que entram e saem:
\rho c\,dx\;\frac{\partial T}{\partial t}\,dt = \bigl[q_x(x)-q_x(x+dx)\bigr]\,dt \approx -\frac{\partial q_x}{\partial x}\,dx\,dt.
Substituindo q_x e reorganizando, obtemos
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\Bigr).
Para meio homogêneo com k constante, chega-se a
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} = \frac{\rho c}{k}\,\frac{\partial T}{\partial t}.
Definindo a difusividade térmica \alpha = \frac{k}{\rho c}, reescreve-se na forma do enunciado.

Passo 3

O parâmetro
\alpha = \frac{k}{\rho c}
chamado de difusividade térmica, mede a rapidez com que o calor se difunde no material. Grandes valores de \alpha significam que o calor se propaga rapidamente; pequenos valores, lentamente.

Passo 4

Fisicamente, a equação mostra que a taxa de variação temporal da temperatura em um ponto ( \partial T/\partial t) é proporcional à curvatura espacial do perfil de temperatura ( \partial^{2}T/\partial x^{2}). Quando
\partial^{2}T/\partial x^{2}>0, o ponto está mais frio que seus vizinhos e recebe calor (sua temperatura sobe). Se
\partial^{2}T/\partial x^{2}<0, o ponto está mais quente e perde calor (sua temperatura cai).

Resposta

A equação é a equação unidimensional de condução de calor em regime transiente (equação do calor). Ela exprime que a variação temporal da temperatura num ponto é governada pela difusão térmica—isto é, pela curvatura espacial do campo de temperatura—e é escalonada pela difusividade \alpha.

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